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2.1.4 節　多標本球形仮定と Mendoza の多標本球形検定

　前々節と前節では、反復測度要因のみから成るデザインにおける球形検定について述べた。とりわけ前節で述べた２要因反復測度デザインにおける大局的球形仮定と局所的球形仮定及び球形検定の考え方は、３要因以上の要因がすべて反復測度であるデザインに対しても自然に適用できる。

　これに対して、1.7.2 節で述べたような、独立測度と反復測度が混在するデザインでは、球形仮説も球形検定も、前節でのようにはいかない。たとえば、 1.7.2節の２処理分割区画要因デザインで、反復測度型のサンプリングを行う場合には、既に述べたように、まず独立測度としての処理Ａの各水準に異なる観測単位（被験者）群を無作為に割り付けるので、この水準ごとで反復測度となる処理Ｂの水準間の相関関係は異なるものになる可能性がある。

1) 多標本球形仮定

　 Huynh and Feldt (1970) は、表 1.20 における処理Ｂ（反復測度要因）及び A×B についての F 比が正確な F- 分布に従うための条件は、

(2.28)

であり、この仮説は、

(2.29)

(2.30)

の２つのステップで検定できることを示した。

　ここで、Mは J -1行 J 列の直交正規対比行列、$\{\mbSigma_i,\; i=1,2,\cdots,I\}$は J 行 J 列の母共分散行列、I _J-1 は J -1次の単位行列である。また、$\mbSigma_{pooled}$は、

(2.31)

である。

　(2.28)式は、多標本球形仮定 (multisample sphericity assumption) とか (Harris, 1984; Mendoza, 1980)、多標本循環性仮定 (multisample circularity assumption) と呼ばれたりする (Mendoza, 1980; Kirk, 1982)。

　 (2.28)式の多標本球形仮定検定の検定統計量の雛形は、以下の帰無仮説

(2.32)

に対する尤度比基準から導くことができる (Mendoza, 1980)。

　この場合の、多標本球形仮説検討のための仮定のうち、(2.29)式に対応するのは

(2.33)

である。

2) 共分散行列の等質性の検定

　この場合、第一ステップの I 個の共分散行列の等質性の検定 (test for homogeneity of covariance matrices) には、つぎの Box (1949) の方法が使われる (Huynh and Feldt, 1970; Kirk, 1982)。 Kirk (1982) によれば、この検定は Bartlett の分散の等質性の検定の拡張であり、非正規性に対しては頑健でないという：

(2.34)

ここで、

(2.35)

(2.36)

(2.37)

であり、q は M の行数である（通常 q=J -1 ）。

　もし、N _i が小さく q または I が大であれば、より正確な同じく Box によるつぎの F -検定が可能である (Kirk, 1982):

(2.38)

ここで、

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)

　これに対して、第２ステップの (2.30) 式の検定には、Mauchly の球形検定がそのまま使える。もちろん、この場合球形仮定が棄却されたとすると、表1.8 の処理 B 及び A×B の効果の検定時の F- 分布の自由度は、 Box の ε 因子 (G-G Epsilon 又は H-F Epsilon) によって調整したものを用いる。

　最後に、共分散行列の等質性の検定について注意すべきことは、多標本球形検定の文脈では２ステップ多標本球形検定の第１ステップとしての同等質性の検定は、もとの反復測度変数に対してではなく正規直交化された変数に対して行わねばならない点である。

　後で見るように、まず SAS については、 ANOVA や GLM プロシジャには共分散行列の等質性の検定のオプションがないので DISCRIM プロシジャを用いる必要がある。そして、このプロシジャで pool=text なるオプションを選択すると、Box の χ²- 検定を行ってくれる。ただし、多標本球形検定の文脈では、これを実行する前にあらかじめ data ステップを組み、正規直交変数を作成しておく必要がある。

　つぎに SPSS については、manova 文の print パラメータに homogeneity(box) なるオプションがあるので、これの指定を行えば共分散行列の等質性の検定を行える。 SPSS の場合は、χ²- 検定だけでなく F- 検定も同時に出力されるので便利である。ただし、SAS の場合と同様、多標本球形検定の文脈では、これを実行する前にあらかじめ compute 文を用いて正規直交変数を

　最後に、任意の（反復測度）変数について簡単に正規直交変数化する方法を紹介する。これについては、既に 1.7.3 節の最後に示したので、ここでは省略する。

3) 多標本球形検定

　いずれにせよ、多標本球形仮定を２ステップで検定する方法は、２ステップ多標本球形検定 (a two-step multisample sphericity test) と呼ぶことができる。一方、Mendoza (1980) は、多標本球形仮定が１ステップで検定できることを示した。この方法は、１ステップ多標本球形検定 (a single-step multisample sphericity test) と言える。

　 Mendoza (1980) の多標本球形検定は、つぎのようにして簡単に導ける：

　まず独立測度としての処理 A の第 i 水準 (i =1, 2, ..., I ) に割り付けられた標本を x_i1 , x_i2 , ... , x_{iN_i} とする。この標本が、N(\mbmu_i, \mbSigma_i) なる母集団（すなわち p 次元多変量正規分布に従い、平均 $\mbmu_i$、共分散行列 $\mbSigma_i$ を持つ母集団）からの無作為標本とすれば、密度関数 (density function) は、

(2.43)

したがって、尤度関数 (likelihoood function) は、

(2.44)

　つぎに、母平均 $(\mbmu_i,i =1,2,...,I ) なる I 個の母集団からの標本 (x_i1,x_i2,...,x_{i N_i}), i =1,2,...,I を手にしたとき、多標本球形仮説

(2.45)

のもとでの条件付き最大尤度 L(\omega) は、$\mbmu_i$ と $\mbSigma_i \; (i =1,2,...,I ) の条件付き最尤推定量 (conditional maximum likelihood estimators)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

(2.49)

の時達成される。

　一方、無条件最大尤度 L(\Omega) は、$\mbmu_i$ と $\mbSigma_i,\quad (i =1, 2,...,I ) の無条件最尤推定量

(2.50)

(2.51)

の時達成される。

したがって、尤度比は結局

(2.52)

となる。したがって、つぎの χ_υ²

(2.53)

は帰無仮説のもとで、漸近的に自由度

(2.54)

の χ_υ² 分布に従う。

もし、I =1 ならば、多標本球形仮定は、単純な球形仮定に帰着され、

(2.55)

となる。(2.51) 式より、I =1 の時は、

(2.56)

であることに注意すれば、(2.53) 式の χ_υ² は、 Mauchly の球形検定におけるもとの χ²、すなわち (2.12) 式に等しいことがわかる。

　ここで、１要因反復測度の場合と同様、A には正規直交化された変数に関するものを当てねばならないことに注意せよ。というのは、この場合も M が正規直交の場合には、(2.28) 式と (2.32) 式は同等ではあるが、球形検定の (2.52) 式の λ の値は、もとの変数で計算する場合と、正規直交化されたものとでは、異なるからである。

　ところで、(2.52)式の λ を、Mauchly の球形検定の場合と同様、 Box (1949) に従い修正することもできる (Mendoza, 1980)。修正された λ を λ^* とすれば、

(2.57)

ここで、

(2.58)

さらに、λ^* の分布は

(2.59)

の特性関数 (characteristic function) を用いての積率 (moment) を近似することにより、近似 χ²- 統計量とみなせる。Mendoza によれば、

(2.60)

　最後に、(2.57) 式の Mendoza (1980) の多標本球形検定は、実はその１２年前に Sugiura and Nagao (1968) が、それを含むより一般的な形で提案しているのである。明らかに Mendoza は、Sugiura らの論文を見落していたことになる。研究者の世界では、本来あってはならないことであるが、時々このようなことが起こっているのである。

4) 要因数の多い SPF デザインの場合の球形検定

　最後に、独立測度と反復測度が混在するデザインで、いずれか又は両方共２要因以上の場合の球形検定にふれる。これに関しては、Kirk (1982) が詳しい。

　このような場合、Kirk (1982) の用語法を用いれば、デザインは SPF-pr.q、 SPF-p.qr、SPF-ps.qr、... のように書ける。

　このような場合の球形仮説を一般に

(2.61)

とすると、まず L は、独立測度要因のすべての水準の組み合わせの数となる。例えば、SPF-pr.q デザインでは、２つの独立測度要因の水準数は p 及び r なので、この場合 L=pr となる。SPF-prt.q デザインでは、L=prt である。

　さらに、(2.61) 式の $\mbSigma_l$ の次数は、一般に反復測度要因のすべての水準の組み合わせの数である。例えば、SPF-pr.q デザインでは、１つの反復測度要因の水準数は q なので、$\mbSigma_l$ の次数は q である。これに対して、SPF-p.qr デザインでは、２つの反復測度要因の水準の組み合わせ総数は qr なので、$\mbSigma_l$ の次数は qr である。

　一方、(2.61) 式の M の列数は $\mbSigma_l$ の次数に等しいが、 M の行数は、大局的球形仮説の場合が $\mbSigma_l$ の次数マイナス１である場合を除き、どの局所的球形仮説であるかにより変る。すなわち、一般に、このような場合、多標本球形仮説は、大局的なものと局所的なものの２種類がある。もちろん、反復測度要因が１つの場合、残りの独立測度がいくつあっても、大局的・局所的の区別はなくなることは明らかである。すなわち例えば SPF-pr.q でも SPF-prt.q デザインでも、多標本球形仮説は (2.61) 式１つだけである。

　とりわけ、SPF-pr.q デザインでは、独立測度を A、C、反復測度を B とすれば、区画間効果である処理 A、処理 C、交互作用 A×C は、通常の F- 検定でよいが、区画内効果である処理 B 、A×B、 B×C、A×B×C の効果を見るための F 比の自由度は