２.３節　 重相関係数とその検定

重回帰分析における基準変数の全変動 s²_y に占める推定値変 動 ² の比は、(2.27) 式から

(2.28)

と書け、 重相関係数の二乗（squared multiple correlation coefficient）と呼 ばれ、ＳＭＣと略記する。ここで、

(2.29)

すなわち、

(2.30)

が N ² に等しいことに注意すると、

(2.31)

すなわち、上の重相関係数は、基準変数の実測値と予測値の間の 相関係数にあたることがわかる。

(2.32)

であることは明らかである。

　 つぎに、標本重相関係数 R² から、母重相関係数 R²₀ の検定を行う 方法について述べる。

　 その前に、y_B を y で表わす行列表現に注意しておこう。付録 ５の(7)、(8)式より、

ここで、

(2.34)

すなわち、行列 G は、

なる性質を持ち、べき等行列の１つである。

　 この性質を利用すると、(2.25)式のNs²_y は、

とも書ける。同じく付録５の定理等を用いると、rankG = N -1 に注意して、

(2.38)

すなわち、ss_y/σ² は、自由度 N -1 のχ² -分 布に従うことがわかる。

　一方、s/σ² については、 (2.26)式の右辺の二次形式の行列 X_m (X^t_m X_m ) ^-1X^t_m がやはりべき等行列であること（付録５）および、

であることに注意すると、

(2.40)

すなわち、s/σ² は、自由度 m のχ² -分布に従う ことがわかる。

　 さらに、(2.27)式より、

(2.41)

これにより

(2.42)

　 カイ二乗の加法性の性質（問1.1.1の解答、定理３）から、

(2.43)

すなわち、ss_e/σ² は、自由度 N -m -1 のχ² -分布に従うことが わかる。 　 ここで、(2.24)式より、ss_e/σ² の二次形式の行列 I_N - X_m (X^t_mX_m ) ^-1X^t_m も、やはりべき等行列であることが容易に証明できる。さらにうえの結果から、

であることもわかる。
　 これらより、帰無仮説

(2.45)

のもとでは、

(2.46)

は、自由度 ν₁ =m , ν₂ = N -m -1 の F -分布に従うことがわかる（問1.1.1の 解答の定理１参照）。 　 (2.46)式の F 比は、s 、ss_e の定義から結局、

(2.47)

ここで、(2.27)、(2.28)式に注意すると、

(2.48) 結局、(2.45)式の H0 のもとで(2.48)式の F 比を求め、 (2.49) であれば、危険率 α で、回帰係数に関する帰無仮説を棄却する。

　 このことは、重相関係数に関する帰無仮説 H₀ (R₀ )

を危険率 α で棄却することに等しい。