第７章 カイ二乗検定
| 7.1データ |
| 7.2目的 |
| 7.3注意事項 |
| 7.4問題 |
| 7.5予習課題と予習箇所 |
| 7.62×2 分割表の場合のカイ２乗検定の計算手順 |
| 7.7カイ２乗検定量とそれによる検定公式 |
| 7.8実習レポートの記入の仕方 |
| 7.9 統計ソフト SAS を用いたクロス表のカイ２乗値の計算及び検定の実行手順 |
このページは、平成１４年６月１日に開設しました。
このページは、令和２年５月６日に一部更新しました
この章では、２組の定性的変数間の関連の強さの有無を統計的に検討するための １つの方法としての カイ２乗検定 (chi-square test) を学ぶ。
教育や心理の分野では、しばしば被験者は多くのアンケート項目や検査項目に回答
したり、複数の実験条件に対して反復測定を受ける。このような場合、測定値間には
一般にある種の関連が生じる。測定値がすべて名義尺度のレベルであれば、一方の尺度
のカテゴリーを行に、他方の尺度のカテゴリーを列にとり、対応するセルの度数を
カウントすれば、下のような クロス表 (cross table) もしくは 分割表
(contingency table) が構成できる。ここで、一般的には行カテゴリー数は r 個、
列カテゴリー数は s 個であるとする。また、被験者総数は N であるとする。さ
らに、各行の合計 
、
、・・・ や、各列の合計
、、・・・ などは、 周辺度数 (marginal
frequency) と呼ぶ：
|
ここでは、２つの名義尺度のカテゴリーが共に２選択肢の場合を例に取り、カイ ２乗検定の手続きを学ぶ。この場合には、分割表はつぎのようになる：
|
例えばデータは、N 人の被験者の性別と向性（外向的、か内向的か）あるとする。 一般的には、それらは以下のように書ける。ここで、G i は被験者 i の性別で 例えば男なら１、女なら２とコード化するものとする。また、E i は同じく被験者 i の向性で、やはり外向的なら１、内向的なら２とコード化したとする：
|
当日の問題の標本数 N は２０である。
N 人の被験者の名義２尺度の対データから、２組の定性変数間の関連性の有無を 検討するための１つの方法としてのカイ２乗検定を行う。
なし
卓上計算機を用い、名義２尺度から成る対データから分割表を作成し、さらにカイ ２乗検定により２つの尺度間の関連性の有無の統計的有意性の検定を行え。
|
(7.1) |
ここで、
|
(7.2) |
(7.2) 式の g ij は、２つの属性 A 、 B が互いに独立（関連無し）の もとで ( i , j ) セルに期待される度数であり、 期待度数 (expected frequency) と呼ばれている。
また、(7.1) 式から明らかなように、この式の左辺の χ 2 は、各セルに ついての次式で与えられる量 h ij の和、として定義されているので、h ij は、全体的なカイ２乗に対する各セルの寄与の程度を表している。したがって、 帰無仮説が棄却された場合には、上の期待度数とこの量 h ij を同時に出力 できていれば、２つの属性 A 、B のどこにとりわけ大きな独立性からのずれが どの方向にあるのかを検討できることになる。
| h ij = ( f ij - g ij )2 / g ij . | (7.3) |
|
(7.4) |
ただし、セル内に期待度数５以下の度数が存在する場合 には、つぎのように イエーツの修正 (Yates' correction in chi square) を行うこと（SAS 方式）：
の時、(7.4) 式の分子の ad - bc を
ad - bc -とする。
以下の時は、
(7.4) 式のカイ２乗値をゼロとする。
の時、(7.4) 式の分子の ad - bc を
ad - bc + とする。
上記の (7.1) 式のカイ２乗統計量は、近似的に自由度 ν =( r -1) ( s -1) なる χ 2 - 分布に従う。したがって、通常の方 式により、有意水準に対する棄却点の値を数表から読みとり、標本のカイ２乗統 計量が棄却点の値を超えていれば帰無仮説を棄却、さもなければ採択する。
もちろん、ここでの帰無仮説は、「名義両尺度（変数）間に関連がない」、と いうものである。
これまで、手計算によるクロス表のカイ２乗検定量とその検定の計算方法につ いて述べてきたが、以下の２つの例は、国際的な統計ソフト SAS を用いた クロス表のカイ２乗検定量の計算とその検定の手順を示す。
ここでは、クロス表のカイ２乗検定の計算と検定を行うための SAS プログラム を紹介する。SAS を実行する手順を示す前に、ここで利用するデータと出力結 果の一部、及びそのための SAS プログラムを紹介する。
| 7.9.1.1データ例とその入力方法 |
| 7.9.1.2出力結果の例 |
| 7.9.1.3SAS プログラムの例 |
| 7.9.1.4SAS による具体的手順 |
つぎのデータは、ここでは、心理統計学のテキストの乱数表から取った架空 のデータである。
ここでは、クロス表のカイ２乗検定用に、もとのデータをす べて１か２に各自で変換してから次の例のように入力せよ。変換は、もしデータ が５０未満なら１、５０以上なら２とせよ。いつもと同様、データは半角で入力 せよ。
1 1 1 2 2 2 3 1 2 4 1 1 5 2 1 6 1 1 7 2 1 8 2 1 9 1 1 10 2 2 11 1 2 12 1 2 13 1 1 14 1 2 15 2 1 16 1 2 17 1 1 18 1 1 19 1 2 20 1 2 |
学生諸君は、心理統計学のテキストの乱数表の中から、各自の通し番号に 対応する箇所から、縦に見て続けて２０個を各ページから取り出し、それぞれをすべ て１か２に指定された方法で変換せよ。
ここで、うえの２０個のデータの各行は２０人の被験者に対応し、各行とも最 初の２桁の数値が被験者番号を、１つ空白を置き１桁で打ってあるのが、p.445 の 各自の学籍番号に対応する２０個の値のそれぞれを１か２に変換した値、さらに１ つの空白を置き１桁で打ってあるのが、p.446 の各自の学籍番号に対応する２０ 個の値をやはりそれぞれを１か２に変換した値、であるとする。もちろん、デ ータはすべて全角ではなく、半角で入力せよ。また、被験者番 号が９番までの被験者の被験者番号は、半角スペースを１つ入れた後一桁の被験者 番号を上の例のように入力すること。
学籍番号に対応する各人のデータの先頭は、各ページごと、左上から右下に向かって ２桁の数値を５つづつ飛ばして到達する位置とする。各列の最後に来たら、次の列の先 頭に戻りカウントすること。
例えば、学籍番号 001 の学生は、p.445 の数値の左最上部の数値から始め、94, 18, ..., 90, 35 までを２０名の被験者の第１変数の２０個のデータとし、p.446 の数値 の左最上部の数値 70, 99, ..., 95, 45 までの２０個のデータを２０名の被験者の 第２変数の２０個のデータとして、上記データファイルに上の例のように１か２に 変換後の２変数が対になる形に入力する。
また、例えば学籍番号 012 の学生ならば、p.445 の数値左最上部から２列目の６つ目 の数値から始め、81, 18, ..., 29, 38 を第１変数のの２０個のデータ、p.446 の数 値の左最上部から２列目の６つ目の数値から始め、96, 62, ..., 29, 61 を第２変数 の２０個のデータとして、それぞれを５０未満なら１、５０以上なら２なる値に変換 したものを入力する。
以下の検定結果は、後続の SAS プログラムよって得られたものである。
a chi-square test for a contingency table
FREQ プロシジャ
表 : catx * caty
catx(categorical variable x)
caty(categorical variable y)
度数 |
期待度数 |
セルのχ 2 乗値|
パーセント |
行のパーセント |
列のパーセント | 1| 2| 合計
---------------+--------+--------+
1 | 7 | 7 | 14
| 7.7 | 6.3 |
| 0.0636 | 0.0778 |
| 35.00 | 35.00 | 70.00
| 50.00 | 50.00 |
| 63.64 | 77.78 |
---------------+--------+--------+
2 | 4 | 2 | 6
| 3.3 | 2.7 |
| 0.1485 | 0.1815 |
| 20.00 | 10.00 | 30.00
| 66.67 | 33.33 |
| 36.36 | 22.22 |
---------------+--------+--------+
合計 11 9 20
55.00 45.00 100.00
catx と caty の統計量
統計量 自由度 値 p 値
----------------------------------------------------------
χ 2 乗値 1 0.4714 0.4924
尤度比χ 2 乗値 1 0.4793 0.4888
連続性補正χ 2 乗値 1 0.0385 0.8445
Mantel-Haenszel のχ 2 乗値 1 0.4478 0.5034
φ係数 -0.1535
不確実性係数 0.1517
Cramer の V 統計量 -0.1535
WARNING: セルの 50% において、期待度数が 5 より小さく
なっています。χ 2 乗検定は妥当な検定で
ないと思われます。
FREQ プロシジャ
catx と caty の統計量
Fisher の正確検定
-----------------------------
セル (1,1) 度数 (F) 7
左側 Pr <= F 0.4257
右側 Pr >= F 0.8808
表の確率 (P) 0.3065
両側 Pr <= P 0.6424
サンプルサイズ = 20
|
うえの出力結果のうち、全体としてのカイ２乗検定結果は、後半の「統計量」の項 に示されている。最初のカイ２乗値は、イエーツの修正をしない場合のカイ２乗値で ある。期待度数に５以下のものがない場合は、この値に対応する p 値により検定を行 う。
一方、いずれかのセルに期待度数５以下のものがある場合は、「統計量」の項の３ つ目のカイ２乗値を見よ。これが、いわゆるイエーツの修正後のカイ２乗 値であることに注意せよ。この場合、検定はもちろんこれに対応する右端の p 値に より行う。
平成28年度からは、つぎの2種類のプログラムの中の最初の SAS 無償バージョン用の プログラムを用いること。
*-----------------------------------------------------------------------*
| February 2, 2016 |
| |
| a sas program for computing the chi-square statistic and testing |
| the null hypothesis about association between two categorical vari- |
| ables. |
*-----------------------------------------------------------------------*;
filename data '/folders/myfolders/data/chisq_ex1.txt';
options ps=60;
data work;
infile data;
input ssno 2. (catx caty) (2.);
label catx="categorical variable x"
caty="categorical variable y";
run;
title 'a chi-square test for a contingency table';
proc freq data=work;
tables catx*caty/expected cellchi2 chisq;
run;
|
*-----------------------------------------------------------------------*
| December 1, 2004 |
| |
| a sas program for computing the chi-square statistic and testing |
| the null hypothesis about association between two categorical vari- |
| ables. |
*-----------------------------------------------------------------------*;
filename data 'p:\data\chisq_ex1.txt';
options ps=60;
data work;
infile data;
input ssno 2. (catx caty) (2.);
label catx="categorical variable x"
caty="categorical variable y";
run;
title 'a chi-square test for a contingency table';
proc freq work;
tables catx*caty/expected cellchi2 chisq;
run;
|
| chisq_ex1.sas |
情報処理教育センター (ecip) で行う場合