第５章 平均の差の検定
| 5.1母集団の分布形が未知だが、母分散は既 知で、標本数が大の場合 |
| 5.2母集団の分布が正規分布で、母分散は未知 の場合 |
| 5.3目的 |
| 5.4注意事項 |
| 5.5問題 |
| 5.6計算の手順 |
| 5.7実習レポート記入の仕方 |
| 5.8 統計ソフト SAS を用いた t-検定や正規性検定等の実行手順 |
このページは、平成１４年６月１日に開設しました。
このページは、令和２年５月６日に一部更新しました
第３章では無作為抽出された１組の標本から、それが得られた母集団 の平均を区間推定したり、得られた標本がある平均を持つ母集団からの標本と言える かどうかの検定の方法を学習した。
この章では、互いに無関連な（独立な）２組の標本}から、それらが得 られたもとの２つの母集団の平均が等しいと言えるかどうかの検定法方を学習する。
まず、１つの母集団についてのこれまでの議論と同様に２つの母集団についても、 母集団ー標本ー標本変量、標本変量平均（標本分布）の関係を想定できる。ただし、 標本分布はこの場合、２つの標本平均の差についてである。以下にまとめたように、 第３章の場合と同様、標本分布は母集団の分布形や母分散が既知かどうかで異なる ことになるので注意せよ。
また、ここではあくまでも２つの標本は互いに独立な母集団からのもの であるという仮定を置いていることに注意せよ。もし、２つの標本が独立でない場合には、 ここでの結論は成り立たないからである。そのような場合の平均の差の検定 は、 対応のある（２つの）平均の差の検定と呼ばれ、 ここでは扱わない。
まず、互いに独立な２組の標本 x 1 , x 2 , ... , x Nx（標本数 N x ）及び y 1 , y 2 , ... , y Ny （標本数 N y ）が得られたもとの母集団の分布 形が未知だが、両標本の母集団の分散 σ x2 及び σ y2 はそれぞれ σ x02 及び σ y02 としてわかっているものとする。また、２つの母集団の平均はそれぞれ、μ x 及び μ y であるとする。もちろん、 ここで平均の方は、未知であるものとする。
この時、標本変量平均の差
の標本分布は、平均及び分散
|
を持つ分布となることが分かっている。また、差の標本分布の形は、中心極限定理か ら標本数が大の時、正規分布に近づくことがわかっている。この結果を用いると、つ ぎのようにして２つの平均の差の検定を行うことができる。
一般に、２つの母集団（条件）に関するわれわれの作業仮説は、多くの場合、条件 間に何らかの差がある、というものである。このような何らかの心理学的作業仮説を 検討する時、統計学ではこの仮説を否定したもの、すなわち帰無仮説として、２つの 条件間に差がない、という統計的仮説を立てる。したがって、この場合、帰無仮説は H 0 : μ x = μ y となる。
この帰無仮説 H 0 : μ x = μ y を危険率 α で検定するには、つぎの z なる統計量
|
(5.1) |
が、帰無仮説のもとで、標本数が N x も N y も大の時、
標準正規分布に従うことを用いる。この時、仮定から μ x - μ
y = 0 であり、さらに 
と 
を標本の値
及び 
に置き換えて、
|
ならば、帰無仮説を棄却し、さもなければ帰無仮説を採択すればよい。より正確な
表現をするならば、前者は「２つの平均の差は 100α パーセント水準で
統計的に有意である」、となり、後者は「２つの平均の差は統計的に有意ではない」、
となる。ここで、z
は、
第３章の (3.13) 式で既に学んだ標準正規分布の上側
100
パーセント点である。
このように、帰無仮説を棄却することは結果として ２つの条件の平均 値間に差がある、と結論づけることになるし、帰無仮説を採択することは、 ２つの平均間に差がない、と結論づけることになる。
この節では、互いに独立な２組の標本 x 1 , x
2 , ... , x Nx（標本数
N xv）及び y 1 , y 2,
... , y Ny （標本数 N y ）
が得られたもとの母集団の分布形が正規分布であることが分かっているが、両
標本の母集団の分散 σ x2 及び σ
y
この時、われわれは平均の差の検定の前に、母分散の等質性（言い換えると、
母分散の差（もしくは比））の検定をおこなわねばならない。２つの母集
団の分散が等しいとみなせるか見なせないかにより、平均の差の検定
のための統計量（検定量）の式そのものを変える必要があるからである。
そこで、２つの平均から母集団での平均の差の有無を検定する時の考え方を議論
する前に、つぎの項で母集団の分散の等質性の検定の方法について述べる。
互いに独立な２組の標本 x 1 , x
2 , ... , x Nx（標本数
N x ）及び y 1 , y 2
, ... , y Ny （標本数 N y ）が
得られたもとの母集団の分散を、それぞれ σ x2
及び σ y2 とする。もちろん、この
場合これらは未知であるとするが、それらが等しいと見なせるかどうかを統計的に
検定することができる。この場合、われわれの帰無仮説は σ x2
= σ y2 である。この仮定のもとでは、つぎの量 F
が自由度 ν x = N x - 1、ν y =
N y -1 なる F - 分布 (F-distribution)
に従うことがわかっている。ここで、２つの自由度は F -分布の形を決定するパラメ
ータである :(脚注1)
(5.4) 式の F の式をみると、u x2 の方が
u y2 より大きいとき１より大
きくなり、その逆の時には１より小さくなることは明らかである。通常、分散の等質
性の検定を行う場合、研究仮説としてはどちらの母分散の方が大きいとか小さいという
情報は得られていない場合が多く、そのような場合には (5.4) 式の F -比の値は
理論上１よりも大きい場合もあり小さい場合も想定できる。
一般に統計的検定では、標本から構成される何らかの統計量の標本分布を計算し、
帰無仮説のもとで統計量の値が起こり得そうもないような値を取ったとき(あるいは、
起こり得そうもない領域(脚注2)
に落ちたとき)、帰無仮説を棄却するわけであるが、分散の差の有無の検定における
(5.4) 式で定義される F 検定では、うえの議論から２つの母集団の分散のどちら
が大きいかがあらかじめ分かっていない場合には、統計量 F の値の起こりそうに
ない領域は明らかに分布の両側を考えねばならない（このような検定は、
両側検定 (two-sided test) と呼ばれる）。
これに対して、分布の片側のみにこのような領域を設定する検定は、 片側検
定 (one-sided test) と呼ばれる。これらの使い分けは、同じ標本分布でも帰無仮説
を否定したときの仮説、すなわち対立仮説、をわれわれがどう立てるかによる）。
しかし、 数表を用いて F -検定を行う場合には、
従来の F -検定表は棄却域を分布の右側に取る場合のみしか載せていない。そこで、
手計算で数表を用いて
F -検定を行う場合には、F の値をいつも１以上に
する必要がある。そのため、実際の F の値の計算には、(5.4) 式そのもの
ではなく、u x2 と u y2 の
うち大きい方を u 12 、小さい方を u
22 として
なる計算を行う必要がある。ここで、N 1 は、２組の標本の標本
数 N x 及び N y のうち、不偏分散 u
x2 と u y2 のうちの
大きい方に対応する標本数を充てる。もちろん、N 2 はそれら
のうちの小さい方に対応する標本数である。また、
s 12 には、不偏分散のうち大きい方に対応する分
散を充てるものとする。
ただし、当日演習を行う問題のように標本数が２組の標本で等しい場合
には、 (5.5) 式は簡単になり、
となるので、F 比の計算には、２つの標本分散を計算し大きい方を
s 12 、小さい方を s 22
と置けばよい。
最後に、(5.6) 式による母集団の分散の等質性の検定は、２つの母集団の分散が
等しいという帰無仮説、すなわち H 0 : σ x2 =
σ y2 、のもとでは、
分布の右側にのみ棄却域を取る通常の表を用いるときには、危険率
100
の時帰無仮説を棄却し、さもなければ帰無仮説を採択する。帰無仮説を棄却するという
ことは、母分散に差がある（分散の等質性がない）ということを意味する。一方、採択
するということは、母分散に差がない（分散は等質である）ことを意味する。
ここで、うえの式で ν 1 は ν x = N
x - 1 及び ν x = N y - 1 のうち、
不偏分散 u x2 、 u y2 の
大きい方に対応する。授業における例のように標本数が等しい場合には、２つの不偏分散
の大小に拘わりなく、ν 1 も ν 2 も共に標本数マイナス１
に等しい。
また、F_{\nu_1 \atop \nu_2} (\frac{\alpha}{2})$ は、両側検定の場合の自由
度 ν 1 、ν 2 なる F -分布の右側
100
授業での演習では、２つの標本の標本数は共に２０であるので、以下に危険率５
パーセントの場合と１パーセントの場合の対応する棄却点の値を、つぎに示しておく
ので、実際の演習の時に利用すること：
前節の検定で、母集団の分散の等質性の検定が完了したならば、つぎ
にその結果を受けて、われわれは母集団の分散が未知の場合、つぎのような方法で母
平均の差の有無の検定を行う必要がある：
は、自由度
なる t -分布に従う。(5.7) 式の t は S
x2 、S y2 を用いて書き直すと
つぎのようにも書ける：
この場合、つぎの t ' を考える。この t ' は一般には正確な
t-分布には従わない。そこで、つぎのような幾つかの t-分布への近似法が
提案されている：
ここで、
である。
うえの t' による検定には、以下のような幾つかの方法が提案されている。
を計算し、この t * が (5.10) 式の t ' より小さけれ
ば、有意差ありとする。
として、t-検定を行う。
この授業では、母集団の分散が等質でない場合、(b) の
Satterthwaite (1946) の方法を用いよ。なお、この方法は内外の多くの
テキストでは Welch 法（Welch, 1947) と呼ばれているものであるが、SAS では
Satterthwaite の方法と呼ばれており、ここでもこれを踏襲した。
２組の標本に対して両母分散が等しいかどうか不明で母分散の等質性の検定を行って等質性仮説が採択され
たとしよう。従来、内外の統計学のテキストの多くは、母分散の等質性が採択されようが棄却されようが、
一律にそれぞれの検定を例えば５％有意水準を設定して検定する方式しか既述していないが、Hogg (1961)
によれば、例えば、それぞれの検定の危険率をα=0.01 に取るとした場合、全体の検
定での危険率は実際には α*= 0.0199... ~ 0.02となり、
危険率のインフレをまねくことになる。
この問題を回避するためには、分散の等質性が採択される場合には、Hogg (1961) が指摘しているように、
等質性の検定も平均の差の検定も、例えば全体の危険率をα*= 0.05 にしたければ、個々の危険率を
およそ 0.025 に、もしα*=0.01 にしたければ、個々の危険率をおよそ 0.005 に取ればよい。
ちなみに、授業の演習で、例えば２組の標本の標本数が共に２０の場合には、F検定と分散
が等しい時の t 検定における、全体の危険率α* が５パーセントの場合と１パーセントの場合に対応
する棄却点の値は、つぎのようになる：
これらの値は（通常のF分布表には掲載されていないが）、本テキストの末尾の表で見ることが
できる。例えば、分散の等質性のF検定の棄却点の値は、通常のF分布表がF分布の右端のみに対応する
ものであるので、α*に対応するF値であれば、0.025/2、すなわち、p=0.0125 で２つの自
由度が19 の場合を見ることになり、付表 7-2を見る必要がある。一方、分散が等しい時のt検定の
棄却点の値は、通常両側検定に対応するものであるので、同じくα* に対応するt値であ
れば、付表４で p=0.025 で自由度３８の場合を見ればよい。
一方、諸君が WEB 上で演習結果をチェックするために情報処理教育センターの統計ソフト SAS を
用いて検定を行う場合には、F値や t値に対する p-値を直接計算して出力してくれるので、検定時には、
うえのような棄却点の値を見る必要はなく、例えば全体の検定での危険率を５
％とするならば、F検定での p-値が 0.0125 以下かどうか、またt検定でのp-値が0.025以下か
どうかのみチェックすればよい。
平均の差の検定に先立つ分散の等質性検定で分散の等質性仮説が棄却された場合には、それぞれの帰無仮説の
もとでの２つの統計量は互いに独立にはならず、そのような場合、例えば Hogg (1961)は、たとえ平均の
差が統計的に有意であっても、決定的な結論は下さず後続の研究にゆだねる必要がある、といっている。
また、竹内 (1973, p.19) は、もし分散の等質性が棄却されるという条件下で両群の平均の差の
検定をすることは無意味であろう、と言っている。ただし、この点について言及しているテキストもきわめ
て少ない。
ただし、この授業ではうえのような議論のあることは頭に入れたうえで、従来の多くのテキスト
と同様に、Satterthwaite (1946) の方法（Welch, 1947) を用いて平均の差の検定を行うこととする。
この場合、うえに記したように、分散の等質性のF検定と平均の差のt検定は独立にはならないので、
正確な全体的有意水準の計算ができないが、ここでは平均の差のt検定の危険率（有意水準）は、5.2.3
節の場合に準じて行うものとする。つまり、例えば全体の危険率が５％ならば、t検定での危険率は
0.025 とするものとする。ただし、分散が等しい場合の(5.9) 式ではなく、(5.10) 式を用い、なおかつ
自由度の計算にはSatterthwaite (1946) の方法を用いるので、この場合の自由度の計算は(5.12) 式を
用いること。
互いに独立な２組の標本 x 1 , x 2
, ... , x Nx （標本数 N x ）
及び y 1 , y 2 , ... ,
yNy （標本数 N y ）を手
にしたとき、母集団の平均に差があるかどうかの有意性検定（平均の差の
検定）を行う方法を学ぶ。
卓上計算機を用いて、互いに独立な２組の標本 x 1 , x 2 , ... ,
x Nx（標本数 N x ）及び y 1 ,
y 2 , ... , y Ny（標本数 N y ）が
得られたもとの母集団の平均に差があるかどうかの有意性検定を行え。
ここでは、5.1 節のケース、すなわち母集団の分布形は２組とも未知で、母分散
σ x2 、及び σ y2
が既知で、それぞれ σ x02 、及び
σ y02
標本数が大の場合に、 N 個の無作為標本を手にしたとき標本が得られたもと
の母集団の平均の区間推定を行う計算の手順について述べる。
母集団の分散の情報については、当日配布する各人の問題用紙の中に記
されている母標準偏差 σ x0 及び σ
y0（母分散ではない！）の
値を読みとること。計算の手順はつぎの通りである：
ここでは、5.2 節のケース、すなわち母集団の分布形は２組とも正規分布である
ことが分かっているが、母分散 σ x2 、及び
σ y2 は共に未知である時、
N x 個及び N y 個の互いに独立な無作為標
本を手にしたとき、標本が得られたもとの母集団の平均の区間推定を行う計算の手順
について述べる。計算の手順はつぎの通りである：
5.2.2 節の (5.7) 式の t統計量の値を計算し、付表４のt分布表から読み取った危
険率に対応する棄却点の値と比較し、平均の差の検定を行う。
この場合、つぎの３つの方法が考えられるが、5.2.4 節で指摘したように、この
授業ではそれらのうちの最初の方法を用いよ。
5.2.2 節の分散が等しいとみなせない場合の近似的 t検定（例えば
Satterthwaite (1946) の方法を用いて平均の差の検定を行い、採択か棄却
かの判定を行う。
5.2.2 節の分散が等しいとみなせない場合の近似的 t検定（例えば
Satterthwaite (1946) の方法を用いて平均の差の検定を行う。ただ
し、原則としては Hogg (1961) に従い、たとえ平均に有意差があると
しても決定的な結論は下さず、後続の研究にゆだねる。
竹内 (1973) に従って分散が異なる場合の平均の差の検定そ
のものに無理があると考え、平均の差の検定は行わない。
実習レポート記入の仕方は、以下に示すように、5.2 節の、母集団の分布形が正規分
布の場合のみであるので注意せよ。
以下の項目について、すべて小数第３位を四捨五入して、小数第２位までの数値を出
席カードの裏側に順に書き写せ。その際、以下に従い、一行一項目または２項目とし、
例えば 1. x の平均 32.50、y の平均 46.70 のように書くこと。
これまで、手計算による平均の差の検定の計算方法について述べてきたが、
サンプル数が大きくなると、たいへんな手間がかかる。このような作業は
本来人間には向かない。原理さえわかれば、諸君は今やこの種の検定を手計算
でやる時代ではない。以下の２つの例は、国際的な統計ソフト SAS を用いた平均
値の差の検定、とりわけ t-検定等の手順を示す。
ここでは、２群の平均の差の検定、とりわけ t-検定や、正規性の検定、その
他の分析を行うための SAS プログラムを紹介する。SAS を実行する手順を示す前
に、ここで利用するデータと出力結果の一部、及びそのための SAS プログラムを
紹介する。
つぎのデータは、ここでは、心理統計学のテキストの乱数表から取った架空
のデータである。
学生諸君は、この２ページにわたる表の中から、各自の通し番号に対応する箇所
から、縦に見て続けて２０個を各ページから取り出し、情報処理教育センターの各自で
ログインした時の z ドライブの下の My Document -> SASUniversityEdition ->
myfolders の下の data フォルダの中に、TeraPad を起動し、
ファイル名 ttest_ex1.txt なる名前をつけてうえの例のように、入力し保存するこ
と。その際、「名前をつけて保存」画面で、ファイル名 の下の
ファイルの種類は「テキストファイル」を選択する こと。
ここで、うえの２０個のデータの各行は２０人の被験者に対応し、各行とも最初の
１桁の数値が性別（1=男、2=女）を、１つ空白を置き２桁で打ってあるのが、何らか
の心理テストの得点であるとする。もちろん、データはすべて全角ではなく、半角で
入力せよ。
学籍番号に対応する各人のデータの先頭は、各ページごと、左上から右下に向かって
２桁の数値を５つづつ飛ばして到達する位置とする。各列の最後に来たら、次の列の先
頭に戻りカウントすること。
例えば、学籍番号 001 の学生は、p.445 の数値の左最上部の数値から始め、94, 18,
..., 90, 35 までを性別１（男）の２０個のデータとし、p.446 の数値の左最上部の数
値 70, 99, ..., 95, 45 までの２０個のデータを性別２（女）の２０個のデータとし
て、上記データファイルに入力する。
また、例えば学籍番号 012 の学生ならば、p.445 の数値左最上部から２列目の６つ目
の数値から始め、81, 18, ..., 29, 38 を男の２０個のデータ、p.446 の数値の左最上
部から２列目の６つ目の数値から始め、96, 62, ..., 29, 61 を女子の２０個のデータ
として、データファイルに入力する。
以下の検定結果は、後続の SAS プログラムよって得られたものである。
うえの出力結果は、その出力順序を含めて注意が必要である。まず最初に見るべき
は、うえの出力の最後の両群の分散の等質性の F-検定結果である。右端の p-値の値
が 0.5897 なので、母分散の等質性の帰無仮説は採択されることがわかる。
ここで、p-値とは、一般に帰無仮説のもとで統計量（この場合、F）が標本での値よ
りも大きな値を取る（理論的な）確率をさす。この検定の場合は、方法（Method) の
項が Folded F となっているので、授業で話した F 値の計算方法、すなわち F 統計
量の分子にいつも分母より大きい値を持ってくるので、そのときの p 値はおよそ
0.295 であるが、理論的には分子が分母より小さいケースの確率も同等量分考える必
要がある。このため、最終的な p 値はこの値の２倍、すなわち、出力結果の Pr > F
の項にある 0.5897 となる。
いずれにせよ、多くのの統計ソフトでは、うえの SAS の出力結
果のように、授業で教えた棄却点の値を数表から読む必要はなく、そのかわりに帰無仮
説の検定の危険率（１% とか５% など）は、p 値を見るだけで、帰無仮説の採択・棄
却を判断することができるのである。
ただし、テキスト p.24 で述べた理由により、
分散の等質性の検定と平均の差の検定を経時的に行う時は、全体の危険率の
インフレが生じるので、両検定がこの場合独立になることを用いると、個々の
検定の危険率は、全体の危険率を５％水準に抑えたければおよそ 2.5％ に、同
じく１％水準に抑えたければおよそ 0.5％ にする必要がある。
この場合、平均の差の検定そのものに無理があるとも見れるが、ここでは
通常のテキストにあるように検定はおこなうものとする。また、この場合、全体
の危険率の計算は困難であるので、分散の等質性の検定の危険率はうえの方式
で行うものの、平均の差の検定に際しては分散が等しいとみなされる場合の
ような危険率のコントロールは行わず、とりあえず通常の単独での危険率（例え
ば５％とか１％とか）で行うこととする。
いずれにせよ、その結果からは、両群の平均の差の検定において、われわれは母
集団の分散が等しい場合の通常の t-検定を選択する必要がある。そのためにはわれ
われは、うえの出力結果の中段の T-Tests の項で、Method として Satterthwaite
の方法でなく、Pooled すなわち通常の t-検定の項を見ないといけない。言い換え
れば、このデータでは、分散が等質な場合、すなわち Variances の項で Equal と表
示されている行の t-値や p-値を見る必要があることに注意したい。これに対応する、
右端の p-値の値は 0.8773 となっており、上の議論から、全体の危険率が５％の
場合0.025 より大きいので、また同危険率が１％の場合 0.005 より大きいので、
どちらで検定する場合も母平均の差がないという帰無仮説は採択されることがわかる。
最後に、われわれはうえの出力結果のうちの最上段のデータの基礎情報を見ること
になる。各群でサンプル数の右側には、まず各群の母平均の信頼区間（信頼度を何も
指定しない場合、信頼度は 0.95 である）の下限値、標本平均 (Mean)、同信頼区間
の上限値が並んでいる。つぎに、その右側には同母標準偏差の信頼下限値、標本
不偏標準偏差 (Std Dev)、同母標準偏差の信頼上限値、標準誤差、標本の最大値、同
最小値と続く。
ここで、注意すべきは SAS では、ここでの Std Dev は、標本
標準偏差ではなく、標本不偏標準偏差である点である。このプロシジャには、この値
を標本標準偏差に変えるオプションはついていない。そこで、諸君は、SAS で出力さ
れている x と y ごとの（標本）不偏標準偏差（これを、一般的に su と
書くことにする）を、つぎの関係式を用いて（標本）標準偏差 sxや
syに、変換しないと、授業中に計算した諸君の標準偏差とは一致しない
ので注意せよ。つぎの例は、x の（標本）標準偏差の計算式である。y についても同様
である。ここで、sqrt [...] は、[...] の平方根を表すものとする。また、N は x
グループや y グループのサンプル数で、授業では 20 か 10 であった：
上記のような少数データの出力結果を手にするためには、SAS の場合、まずデータ
に変数情報等を付けて特定のフォルダに保存しておくことはせず、つぎのプログラム
にあるように、データをうえのようにあらかじめ p ドライブの data なるフォルダ
の下に名前をつけて（ここでは、ttest_ex1.txt なる名前）保存しておいたものを、
呼び出して、以下のような変数情報をつけて一時的ファイルとし、それを ttest プ
ロシジャで分析するのが簡単である。以下には、そのための SAS プログラムを示し
た。
以下のプログラムと具体的手順は、平成28年度からの SAS 無償バージ
ョン用のものである。
データ例２ は、
今泉 (1991) が収集した５４名の被験者の筆跡と性格に関するものである。概要に
ついては3.4.2 節を参照のこと。
以下の検定結果は、後続の SAS プログラムの一部である ttest
プロシジャによって得られたものである。詳細は、上記 3.4.2 節の中の
「男性役割５因子の性差の分析のためのプログラムの出力結果の見方」の項をクリックし
参照のこと。
上記のような出力結果を手にするためには、SAS の場合、まず今泉データに変数
情報等を付けて特定のフォルダに保存しておくと便利である。そのようなファイル
は、SAS では「永久 SAS ファイル」と呼ばれる。以下には、そのための SAS プロ
グラムを示した。
プログラムの詳細については、3.4.2 節の
筆跡・性役割データの
永久 SAS ファイル化の項を参照のこと。
SAS プログラムの基本的な約束事に関しては、筆者の講義ノートの中の「データ
解析/基礎と応用」の
目次
の下方の「付録 SAS プログラムの作成」の項を参照されたい。
一旦、上記のような永久 SAS ファイルが特定のフォルダに作成されたなら
ば、我々は、以下のような数行の SAS プログラムによりいろいろな検定や計算
をすることができる。下記のプログラムのうち、上述の t-検定の結果を出力す
るための部分は、proc ttest ... 以下の４行に過ぎない。
ダウンロードは、筆者のホームページのテキスト「データ解析/基礎
と応用」の中の、「第３章 因子分析」の中の「3.4.2 節 筆跡・性
役割データへの適用例」の、先頭の目次の項の「1. 筆跡・性役割データ
の永久 SAS ファイル化」をクリックし、その項の先頭の文章中の
「つぎのデータは、...」の「データ」部分をクリックし、やはり
筆者のホームページの中のテキスト「心理統計学」の第２章で既に
やったと同じ手順で、データを p ドライブの Report フォルダ
(マイコンピュータ -> P ドライブ -> letter -> chino -> psychomet
-> Report とクリック) の下の、各自の学籍番号から成るフォルダの
直下の既に作成済みの data フォルダの下に保存する。
この場合、フォルダは p ドライブの Report フォルダの下の、各自
の学籍番号から成るフォルダの直下の既に作成済みの sasprog フォルダ
であることに注意せよ。
この場合も、フォルダは p ドライブの Report フォルダの下の、各自
の学籍番号から成るフォルダの直下の既に作成済みの sasprog フォルダ
であることに注意せよ。
ここで、このプログラムの場合、修正すべき個所は、最初の２行に
おける引用符内を第２章のところで行ったと同様な修正をするだけで
なく、同プログラムの最後から７行目の libname 文の中の引用符内
の最後の format のみを残し同様に修正しないといけないので注意せよ。
もちろん、最初の１行目の filename 文における引用符内の最後の
ファイル名 p88014yi は残さないといけない。
修正手順は、上記 perm_yi.sas と同様であるので詳細は
省略する。もちろん、この場合、修正個所は最初の１行目のみ
である。
２つ目のプログラムの実行が正常終了し出力結果が output ウインドウ
に表示されたならば、第２章の場合と同様、sasout に fact_dif.lst
なる名前をつけてそれを保存する。
脚注1 : 通し番号は新１年生は学籍番号の下３桁、それ以外
の学生は第１回目の授業の時決められものを用いること
脚注2 : 小数点は、同一列内の数字 3 と 8
をダブルマークせよ
5.2.1 節 分散の等質性の検定の考え方と公式
(5.4)
(5.5)
(5.6)
パーセントで
パーセント点
の値である。例えば、検定の危険率を α =0.05 すなわち、5 パーセント
水準とするならば、この値は、右側 2.5 パーセント点である。通常の F -分布表
では、危険率が５パーセントか１パーセントの場合しか載っていないので、このような
半端な値の場合は通常のF -分布表では、したがって岩原のテキスト末尾の数表でも、
見ることができない。
5.2.2 ２つの平均から母集団での平均の差の有無を検定する時の
考え方
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
5.2.3 母分散の等質性が採択される場合の平均の差の検定における
危険率の計算方法
5.2.4 母分散の等質性が棄却される場合の平均の差の検定における危険率の計算方法
5.3 節 目的
5.4 節 注意事項
２組の標本が得られた母集団の分布形が未知か既知か、母分散は既知かどうか、
さらには母集団の分散が等質かどうかの違いにより、検定方式を変える必要がある。
5.5 節 問題
5.6 節 計算の手順
5.6.1 5.1 節の、母集団の分布形が未知の場合
、及び
を求める。
の値は、問題用紙で指定
された危険率に対応するものを選ばねばならないことに注意せよ）。
5.6.2 5.2 節の、母集団の分布が正規分布の場合
、
及び を求める。
5.7 節 実習レポート記入の仕方
5.8 節 統計ソフト SAS を用いた t-検定や正規性検定等の実行手順
宿題 A
5.8.1.1データ例
5.8.1.2出力結果の例
5.8.1.3SAS プログラムの例
5.8.1.4SAS による具体的手順
5.9.1.1 データ例１
1 10
1 96
1 26
1 12
1 97
1 18
1 96
1 57
1 15
1 54
1 12
1 48
1 37
1 34
1 65
1 25
1 46
1 45
1 12
1 46
2 10
2 76
2 61
2 15
2 40
2 17
2 14
2 03
2 14
2 55
2 83
2 79
2 20
2 67
2 10
2 75
2 06
2 07
2 98
2 71
--- 心理統計学の副読本から取り出した、性による平均の差の検定のための
架空データ例 ---
5.9.1.2 出力結果の例
The TTEST Procedure
Statistics
Lower CL Upper CL Lower CL Upper CL
Variable gender N Mean Mean Mean Std Dev Std Dev Std Dev Std Err Minimum Maximum
x 20 29.187 42.55 55.913 21.713 28.552 41.702 6.3844 10 97
1
x 20 25.9 41.05 56.2 24.617 32.37 47.279 7.2382 3 98
2
x Diff (1-2) -18.04 1.5 21.039 24.943 30.521 39.335 9.6515
T-Tests
Variable Method Variances DF t Value Pr > |t|
x Pooled Equal 38 0.16 0.8773
x Satterthwaite Unequal 37.4 0.16 0.8773
Equality of Variances
Variable Method Num DF Den DF F Value Pr > F
x Folded F 19 19 1.29 0.5897
--- 変数 x についての性差の分析の出力結果 ---
5.9.1.3 SAS プログラムの例
(1) 平成28年度から導入された SAS 無償バージョン用のプログラム
*-------------------------------------------------------------------------*
| February 2, 2016 |
| |
| a sasprogram for testing the difference in means of two groups. |
| |
*-------------------------------------------------------------------------*;
filename data '/folders/myfolders/data/ttest_ex1.txt';
options ps=60;
data work;
infile data;
input gender 1. x 3.;
label gender='gender of subject/1=male, 2=female'
x='mark of a test';
run;
title 'gender difference in a psychological test';
proc ttest data=work;
class gender;
var x;
run;
--- 架空データを用いた、２群の平均の差の検定のためのプログラム （SAS 無償バージョン用）---
(2) 平成27年度まで導入されていた SAS バージョン 9.4 等でのプログラム
*-------------------------------------------------------------------------*
| October 6, 2004 |
| |
| a sasprogram for testing the difference in means of two groups. |
| |
*-------------------------------------------------------------------------*;
filename data 'p:\data\ttest_ex1.txt';
options ps=60;
data work;
infile data;
input gender 1. x 3.;
label gender='gender of subject/1=male, 2=female'
x='mark of a test';
run;
title 'gender difference in a psychological test';
proc ttest data=work;
class gender;
var x;
run;
--- 架空データを用いた、２群の平均の差の検定のためのプログラム ---
5.9.1.4 SAS による具体的手順
ttest_ex1.sas
宿題 B
5.9.2.1データ例
5.9.2.2出力結果の例
5.9.2.3SAS プログラムの例
5.9.2.4SAS による具体的手順
5.9.2.1 データ例２
5.9.2.2 出力結果の例
TTEST PROCEDURE
Variable: FACTOR1
GENDER N Mean Std Dev Std Error
----------------------------------------------------------------------
1 14 -0.43951104 1.15235295 0.30797928
2 40 0.15382886 0.84347227 0.13336468
Variances T DF Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal -1.7679 18.1 0.0939
Equal -2.0538 52.0 0.0450
For H0: Variances are equal, F' = 1.87 DF = (13,39) Prob>F' = 0.1327
--- 男性役割５因子についての性差の分析の出力結果の見方 ---
5.9.2.3 SAS プログラムの例
filename yumidata '/home/shinri/chino/educdata/thesis/p88014yi';
libname permfile '/home/shinri/chino/sasset/multivar';
options pagesize=60;
data permfile.yumi;
infile yumidata;
input noss 2. +1 gender 1. +1 (rolm1-rolm29) (1.) +1
(rolf1-rolf29) (1.) mfi 4. +1 ratio 3.1
/+4 (hola1-hola28) (1.)
/+4 (holb1-holb28) (1.)
/+4 (holc1-holc28) (1.)
/+4 (hold1-hold28) (1.)
/+4 (hole1-hole28) (1.);
label noss='sample number'
gender='gender of subjects'
mfi='muscularity-feminity index'
ratio='correct judge of gender';
run;
libname library '/home/shinri/chino/sasset/format';
proc format library=library;
value sexfmt 1='male' 2='female';
run;
proc print data=permfile.yumi n;
title 'thesis data by p88014, Yumi Imaizumi';
run;
--- 今泉 (1991) データの永久ＳＡＳファイル化 ---
libname permfile '/home/shinri/chino/sasset/multivar';
options pagesize=60;
title 'principal FA for Imaizumi data/ 5-factor solution';
proc factor data=permfile.yumi
nocorr priors=s n=5 r=v re score outstat=factout;
var rolm1-rolm29;
run;
proc score data=permfile.yumi score=factout out=scores;
run;
title 'gender differences in each of the five factors';
proc ttest data=scores;
class gender;
var factor1-factor5;
run;
proc sort data=scores;
by gender;
run;
options pagesize=40;
title 'histogram of each of the five factors by gender';
proc chart data=scores;
by gender;
vbar factor1-factor5;
run;
options pagesize=60;
title 'normality test for each factor by gender';
proc univariate data=scores normal;
by gender;
var factor1-factor5;
run;
--- 男性役割５因子についての性差の分析のためのプログラム ---
5.9.2.4 SAS による具体的手順
脚注