　上述の確率母関数に対して、つぎの φ(t) は積率母関数 (moment generating function) と呼ばれる。

(58)

　積率母関数を期待値の言葉で表現すると、

(59)

となる。もちろん、離散分布の場合には、

(60)

　積率母関数については、つぎの重要な性質がある：

性質１
	(61)

この性質を導くには、(60) 式の第２右辺の e^tX をテイラー展開し、その期待値をとると：

(62)

すなわち、積率母関数をテイラー展開すると、その係数に確率変数 X の原点の周りの r 次の積率が出現する。
　そこで、(62) 式の φ'(0), φ''(0), ..., を計算すれば (61) 式が導かれる。

　例１　 正規分布の積率母関数と積率

　正規分布の積率母関数 φ(t) はつぎのようになる：

(63)

したがって、

そこで、正規分布の４次までの任意点の周り及び平均の周りの積率はつぎのようになる：

性質２　φ(t) を、ある確率分布の積率母関数とすると、φ(t) を積率母関数とするような確率分布は１つしか存在しない。

（証明略）

性質３　F_n(x); n=1,2, ..., を分布関数の無限系列、φ_n(t), n=1,2, ..., をそれぞれの分布に対応する積率母関数の系列とする。また、F(x)、φ(t) をある分布関数及び積率母関数とする。この時、F₁(x), F₂(x), ..., が F(x) のすべての連続な点で F(x) に収束するならば、 φ₁(t), φ₂(t), ..., は、φ(t) に収束し、その逆も成り立つ。

（証明略）

性質３を用いると、次の定理を証明できる：

定理　２．１
２項分布に従う確率変数 X に対して、
	(64)

の分布は、n が無限大の時、正規分布 N(0, 1) に収束する。

（証明）

Y の積率母関数 φ_n(t) は、

ここで、２項分布の積率母関数が、

であることに注意すると、一般に a, b を定数として、次式が成り立つ：

そこで、

上式の両辺の対数を取ると、e^z 及び ln (1+z) のテイラー展開に注意して、

ここで、省略した項はすべて n が無限大の時０に収束することに注意すれば、

この式の右辺は、(63) 式の平均０、分散１の正規分布の積率母関数に等しいので、Y の分布は n が無限大の時、正規分布に近づくことがわかる。

　積率母関数は、t の幾つかのあるいはすべての値に対して存在しなことが多い。そこで、より一般的な形の関数を用いることがある。それが、次節の特性関数である。

　 2.6 特性関数とキュミュラント

　　2.6.1 特性関数

積率母関数をより一般的な形にしたのが、つぎに定義する特性関数 (the characteristic function) φ(t) である：

(65)

　特性関数を期待値の言葉で表現すると、

(66)

となる。ここで、

(67)

は、e^itX のテイラー展開から明らかである。

　一般に、特性関数の絶対値は上式の性質から

性質１
	(68)

　また、分布関数の性質から

(69)

は収束するので、つぎの性質がある：

性質２　(65) 式のスティルチェス積分 (the Stieltjes integral) は、t において絶対収束 (absolute convergence) 及び一様収束 (uniform convergence) する。

　(66) 式の e^itX を X=x₀=0 でテイラー展開し、その期待値を取ると、

(70)

　ここで、

(71)

　あるいは、

性質３
	(72)

　例１　平均ゼロの正規分布の特性関数と積率

　平均ゼロの正規分布 N(0, σ²) の特性関数 φ(t) はつぎのようになる：

(73)

そこで、

(74)

故に、

(75)

　例２　ガンマ分布の特性関数と積率

　ガンマ分布の特性関数 φ(t) はつぎのようになる：

(76)

　ここで、変数変換 z=x(a-it) を行うと、

(77)

　そこで、

(78)

特性関数の役割
　特性関数は、分布の特徴を密度関数 f(x) を一般化フーリエ級数により直交成分に分解し、当該密度関数が各成分をどれほど持っているかを調べている、ことになる。

　その理由は、次の通りである。すなわち、(65) 式で表される特性関数 φ(t) は、明らかに f (x) のフーリエ変換 (Fourier transform)（一般形）、すなわち

(79)

の形をしており、フーリエ逆変換 (Fourier inverse transform)、

(80)

と対をなす。
　また、フーリエ逆変換は、一般化フーリエ級数 (Generalized Fourier series)

(81)

の特殊形である。

　言い換えれば、特性関数 φ(t) は、任意の分布（密度関数） f(x) を、一般化フーリエ級数で展開（フーリエ逆変換にあたる）

(82)

した時、関数 e^-itx に対する正射影

(83)

である、と言える。

　最後に、乗積積率の特性関数の定義を示す。ここまでに紹介した積率が１変量の分布のそれであるのに対して、これを２変量以上の場合に拡張したものが乗積積率である。

まず、２変量乗積積率の特性関数はつぎのようになる：

つぎに、一般の多変量乗積積率の特性関数はつぎのようになる：

ここで、上式中の指数関数の肩のべき乗 i t^tx におけるベクトル t の肩の t は、ベクトル t の転置を意味することの注意せよ。なお、上式中のベクトル t 及び x は共に p 次の列ベクトルを表すものとする。

　　2.6.2 キュミュラント

これまでに述べた積率は、ある状況では分布の特徴を記述するのに適している。しかし、積率は、そのための唯一の指標でもないし、最適なものであるとも限らない。理論的には、つぎに定義するキュミュラント (cumulants) κ₁, κ₂, ..., κ_r がより有用である。

(84)

　上式より、キュミュラントは e のべき乗における t の無限級数の係数から成ることが明らかである。
　より一般的には

(85)

(84) 式からは、μ_r' が特性関数 φ (t) における (it)^r/r! の係数であるのに対して、κ_r は ln φ (t) における (it)^r/r! の係数であることがわかる。ln φ (t) は、キュミュラント母関数 (cumulant-generating function) と呼ばれる。
　任意点の周りの積率 μ_r' （あるいは原点の周りの積率）は、確率変数 X の原点を a から b に変えると変わるが、キュミュラントは、一次キュミュラントを除き、原点の変換に対して不変である。なぜならば、b-a=c として、(85) 式で原点を a から b に変えると、

となるので、ln φ (t) への効果は、

　したがって、

より、ln φ (t) に -itc を加えるだけのものとなり、(85) 式から

であるから。
　そこで、x の任意の線形変換 lx+m に対して、κ_r には、l^r が掛かるのみとなる。

　積率とキュミュラントの関係は、(84) より、

(86)

　これより、

ここで、２番目の Σ は、

なるすべての非負の正数に亘る。
　例えば、

(87)

そこで、平均の周りの積率については、

(88)

逆に、(84) 式より

故に、一般に

であることに注意すれば、

これより、

ここで、２番目の Σ は、、

なるすべての非負の正数 j₁, ... , j_m 及び l（エル）に亘る。
　例えば、

そこで、平均の周りの積率については、

(89)

　キュミュラントについては、(84) 式から、つぎの性質があることがわかる：

性質１ r 次のキュミュラントは、もし r 次以下の積率が存在するならば、存在する。

　また、(85) 式より、

(90)

　例１　正規分布のキュミュラント

　平均ゼロの正規分布の特性関数は、(73) 式で表されるので、

　この式と (90) 式を比較して、

(91)

第３章基本的な統計量の分布と非心分布

ここでは、確率変数の和、平均値や分散などの基本的な統計量の分布についての定理を、裏西ら (1967) に従い証明ぬきで示す。また、基本的な非心分布 (non-central distribution) についても列記する。最後に、中心極限定理 (central limit theorem) にふれる。

　 3.1 連続分布

　　3.1.1 正規分布

　　　　3.1.1.1 正規分布にかかわる定理

定理　１

確率変数 X が正規分布 N (μ,σ²) に従うとき、任意の実数 a (\ne 0) 、b に対して、確率変数 Y= aX + b は正規分布 N (aμ + b, a²σ²) に従う。

定理　2

互いに独立な確率変数 X 及び Y が、それぞれ正規分布 N (μ_x , σ²_x ) 、N (μ_y ,σ²_y ) に従うとき、ゼロでない実数 a ,b に対して、確率変数 aX + bY は正規分布 N (aμ_x +bμ_y ,a²σ² _x +b²σ²_y) に従う。

定理　3

　正規分布 N (μ ,σ² ) に従う互いに独立な確率変数 X₁ ,X₂ , ...,X_n から作った算術平均

は、正規分布 N (μ ,σ²/n) に従う。

定理　4

　互いに独立な２組の確率変数 X₁ ,X₂ ,...,X_n と Y₁ ,Y₂ , ...,Y_m とが、それぞれ N (μ_x ,σ²_x ) 、 N (μ_y ,σ²_y ) に従うとき、

の分布は、 N (μ_x - μ_y ,σ²_x /n +σ²_y /m ) に従う。

　　　　3.1.1.2 正規分布の形状とその特徴

　(24) 式で表される正規分布の密度関数の図の例については、図５を参照のこと。また、正規分布の期待値、平均の周りの２次から４次までの積率、ならびに歪度、及び尖度は、前節の最後でも述べたように、つぎの通りである：

　μ'₁ = E (X)=μ、μ₂ = V (X) = σ²、μ₃ = 0、 μ₄ = 3 σ⁴、γ₁ = 0, γ₂ = 0.

　　3.1.2 χ²-分布

　　　　3.1.2.1 χ²-分布にかかわる定理

定理　5
確率変数 Z が単位正規分布 N (0,1) に従い分布している時、確率変数 Z² =Y の密度関数 f (y ) はつぎの式で与えられる自由度 (degree of freedom) 1 の χ²-分布に従う。
	(92)

定理　6

　互いに独立な確率変数 X,Y が、それぞれ自由度 ν₁ ,ν₂ の χ²-分布に従う時、和の分布 U =X +Y は、自由度 ν₁+ν₂ なる χ²-分布に従う。

　　一般に、自由度 ν の χ²-分布の密度関数は、つぎの式で与えられる。

(93)

ここで、ガンマ関数 (Gamma-function) とは、まず一般に、実数 x に対して、

として定義される関数である。しかし、しばしばこの関数で x= a-1 (ここで、a > 0) としたものを、ガンマ関数と呼ぶ。この時、うえの式は、つぎのように書ける。ここで、以下の式では、x ! の式での変域 t を x に変更していることに注意せよ：

ガンマ関数は、後述の t-分布や非心カイ２乗分布などの統計学的分布の中にしばしば現れる基本的な関数の１つである。

定理　7
正規分布 N (μ,σ²) に従う互いに独立な確率変数 X₁ ,X₂ ,...,X_n について、分散と平均
	(94)
から作られる確率変数 nS²/σ ² は、自由度 n -1 の χ² -分布に従い、とは独立である。

　　　　3.1.2.2 χ²-分布の形状とその特徴

　図７は、MATLAB による自由度１から４までのχ²-分布の確率密度関数を示す。このうち、自由度１のχ²-分布の x=0 における確率密度は無限大になるが、図では 1.2 をわずかに超えるところまでしか表示していないことに注意せよ。

図７. χ²-分布の確率密度関数の例

　　(93) 式で表される自由度 ν の χ²-分布の期待値、平均の周りの２次から４次までの積率、ならびに歪度、及び尖度は、前節の最後でも述べたように、つぎの通りである：

　μ'₁ = E (X)=ν、μ₂ = V (X) = 2 ν、μ₃ = 8 ν、μ₄ = 12 ν (ν + 4)、γ₁ = 2 2^1/2 /ν^1/2, γ₂ = 12/ν.

　また、同分布の最頻値 M₀ は、ν > 2 の時、単峰分布となり、ν - 2 である。

　　ちなみに、うえの図７の４つの分布のうち、自由度２の χ²-分布、χ ₂² では、平均 E(X) は２、最頻値 M₀ は０である。また、自由度３のχ²-分布、χ₃²では、平均 E(X) は３、最頻値 M₀ は１である。一方、γ₁ の値から、χ²- 分布は常に正の歪みを持ち、γ₂ の値から、急尖分布であることがわかる。

　　3.1.3 F-分布

　　　　3.1.3.1 F-分布にかかわる定理

定理　8
確率変数 U₁ 及び U₂ が、それぞれ自由度 ν₁ 及び ν₂ の χ²-分布に従う時、それらの比 F =(U₁ /ν₁ )/(U₂ /ν₂ ) は、つぎの式で与えられる F -分布に従う。
	(95)

ここで、ベータ関数 (Beta-function) とは、 0

1、及び a, b > 0 に対して、

として定義される関数である。ベータ関数は、既に上述のカイ２乗分布の確率密度関数の定義にも出てきたガンマ関数との間に、つぎの興味深い関係があることが知られている（例えば、宇野, 1966)：

なお、この式は以降に述べる非心カイ２乗分布とカイ２乗分布の関係を調べるに際しても、役立つ。

　　　　3.1.3.2 F-分布の形状とその特徴

　　F-分布の確率密度関数の図の例をつぎに示す：

図８. F-分布の確率密度関数の例

　　(95) 式で表される自由度 ν₁ 及び ν₂ の F-分布の期待値、平均の周りの２次から４次までの積率、ならびに歪度、及び尖度は、前節の最後でも述べたように、つぎの通りである。興味深いことに、F-分布では平均は第２自由度のみによって決まることがわかる：

　また、同分布の最頻値 M₀ は、 M₀ = {ν₂ (ν₁ - 2)}/ {ν₁ (ν₂ + 2)} である。
　　ちなみに、図８の３つ目の分布の場合、自由度が ν₁=3, ν₂=8 なので、平均 μ₁^' は 1.333..., 最頻値 M₀ は 0.2666... となる。一方、γ₁ の値から、F-分布は、ν₂ > 6 のとき、正の歪みを持つ分布であることがわかる。

　　3.1.4 t-分布

　　　　3.1.4.1 t-分布にかかわる定理

定理　9
確率変数 X が自由度 ν なる χ²-分布に従い、これとは独立な確率変数 Z が単位正規分布に従う時、の密度関数 f (u ) は、つぎの式で与えられる自由度 ν の t -分布に従う。
	(96)

ここで、うえの式の右辺の関数 Γ は、ガンマ関数である。

定理　10

　正規分布 N (μ ,σ² ) に従う互いに独立な確率変数 X₁ ,X₂ ,...,X_n について、(26) 式による分散と平均から作られる確率変数

は、自由度 n -1 の t -分布に従う。

　　　　3.1.4.2 t-分布の形状とその特徴

　以下に、MATLAB によるt-分布の確率密度関数の例を２つ示す。まず、図９は自由度５の t-分布を赤色で示し、さらにこの t-分布の分散が 5/3 になることに注意し、分散の等しい正規分布を青色で示したものである。
　ここで、両分布とも、横軸 x の変域はもちろん定義よりマイナス無限大からプラス無限大に亘るが、図９では、マイナス８からプラス８までしか描いていないが、両分布の尾の部分例えば x の絶対値がおよぞ５より大きい部分の曲線は、縦軸すなわち f(x) の値が小さいためぼやけてしまっている。

図９. t-分布の確率密度関数(赤色）の例（青色は正規分布の例）

　つぎに、t-分布と正規分布が、両分布の分散が等しい場合、前者の方がより重くて大きな広がり (heavier tails and a larger spread) を持つという特徴（例えば、Martinez et al., 2008, p.42）を図示したのが、図１０である。この図で両分布の尾の部分を比較すれば、その特徴は明らかである。ここで、図１０の縦軸のスケールは f(x)/1000、すなわち通常の１０００分の１にしてあることに注意せよ。
　なお、t-分布は極限では（自由度が無限大なる）正規分布と一致することもよく知られている。

図１０. t-分布の確率密度関数(赤色)（青色は正規分布の例）の尾の部分の特徴

　(96) 式で表される t-分布の期待値、平均の周りの２次から４次までの積率、ならびに歪度、及び尖度は、つぎの通りである：

μ'₁ = E (X)= 0,

μ₃ = 0,

γ₁ = 0,

　また、同分布の最頻値 M₀ は、0 である。

　うえの γ₁ の値から、t-分布は、ν₂ > 4 のとき、急尖分布であることがわかる。図９を見ると、分散が同一の正規分布（尖度 0）と比べて、t-分布の方が尖っていることがよくわかる。

　　3.1.5 ガンマ分布

　　　　3.1.5.1 ガンマ分布にかかわる定理

ガンマ分布 (a Gamma distribution) は、次式の確率密度関数を持つ：

(62)

定理　11

　ガンマ分布は、ガンマ関数が絶対収束するために、すべての次数の積率が存在する。

　　　　3.1.5.2 ガンマ分布の形状とその特徴

ガンマ分布の特性関数は、まず特性関数の定義より、

以下に、ガンマ分布の確率密度関数の例を幾つか示す。図中、G(γ,a) は、その確率密度関数が、上記の f(x,γ, a) であることを示す。

図１１. ガンマ分布の確率密度関数の例

ガンマ関数の４次までの積率は、既にその特性関数のところで示したようになる。

3.2 非心分布

　通常われわれが扱う統計量の分布は、検定の文脈では帰無仮説のもとでのそれであるが、検出力 (power) を問題にする場合にはいわゆる非心分布の議論が必要になる。よく知られた正規分布の場合には、対立仮説 (lternative hypothesis) のもとでの分布もまた正規分布になるが、χ²-分布、 F -分布、t -分布などの場合には、分布は非心分布となる。
　なお、これらの分布の密度関数の式は、通常の中心分布と比べてさらに複雑な形を取るので、ここでは省略する。ただし、以下には、それら非心分布の密度関数の例と対応する（中心）分布の例とを比較した図を示す。

　　3.2.1 非心 χ²-分布

　　　　3.2.1.1 非心 χ²-分布

　まず、自由度 ν の非心 χ²-分布 (non-central χ² distribution) は、Fisher (1928) により与えられたもので、互いに独立な ν 個の正規分布 N(μ_i ,1) ,i =1, ..., ν で

に従う変数の２乗和の分布として定義される。ここで、λ をこの分布の非心母数 (non-central parameter) と呼ぶ。
　自由度 ν の非心χ² 分布の確率密度関数は、λ を非心母数 (non-central parameter) として、

(97)

ここで、ν は正整数であり、λ 0, z 0 である。非心 χ² 分布で非心母数の値がゼロの場合が、上述の χ² 分布であることは、非心 χ² 分布の定義式である (43) 式と、χ² 分布の定義式である (40) 式を比較するに際して、上述の F-分布の定義のところで定義したベータ関数とその性質に注意すれば、明らかとなる。

　　　　3.2.1.2 非心 χ²-分布の形状とその特徴

　図１１は、例として非心度 λ=5.0 で自由度が１から４までの非心 χ²-分布の確率密度関数を示す。

図１１. 非心度 λ=5.0 の非心 χ²-分布の確率密度関数の例

　一方、非心 χ²-分布で λ=0 の場合を、通常の（中心） χ²-分布 (central χ² distribution または単に χ² distribution) と呼ぶ（(25) 式）参照）。
　つぎの図１２は、自由度４で非心度 λ=5.0 の χ²-分布(赤）と、自由度４の(中心）χ²-分布(青）を比較したものである。

図１２. （中心）χ²-分布と非心 χ²-分布の確率密度関数の比較

　　(97) 式で表される自由度 ν で非心母数 λ の非心 χ²-分布の期待値、平均の周りの２次から４次までの積率、ならびに歪度、及び尖度は、つぎの通りである：

　μ'₁ = E (X)=ν + λ、μ₂ = V (X) = 2 (ν + 2λ)、 μ₃ = 8 (ν + 3λ),
μ₄ = 12 {ν² +4(λ + 1)λ + 4λ(λ + 1) },

であり、さらに、

である。

　これらより、同分布は常に正の歪度を持つ分布で、急尖分布であることがわかる。

　　3.2.2 非心 F-分布

　　　　3.2.2.1　非心 F-分布にかかわる定理

　つぎに、互いに独立な２つの確率変数 z₁ 及び z₂ が、それぞれ自由度 ν₁ 及び ν₂ で非心母数 λ₁ 及び λ₂ を持つ非心 χ²-分布に従うとする。この時、u =z₁/z₂ の分布は、 Tang (1938) によれば、λ = λ₁ + λ₂、 ν = ν₁ + ν₂ として、次式で与えられる：

(98)

ここで (44) 式に

なる変換を行ったものは、二重非心 F -分布 (doubly non-central F-distribution) と呼ばれる。２重非心分布は、次式で表される：

(99)

ここで、λ=λ₁ + λ₂、ν=ν₁ + ν₂、λ₁, λ₂

0, 0

、ν₁, ν₂ は正整数である。
　一方、二重非心 F -分布で、λ₁ =λ かつ λ₂ =0 と置いたものは、一重の非心 F -分布となるが、通常これは、自由度 ν₁,ν₂ で非心母数 λ を持つ非心 F -分布 (non-central F distribution) と呼ばれる。非心 F -分布は、次式で表される：

(100)

ここで、λ

0, 0

, ν₁, ν₂ は正整数である。

　　　　3.2.2.2 非心 F-分布の形状とその特徴

　図１３は、非心度５で、２つの自由度がそれぞれ (1, 3)、(2, 3)、(3, 8)、(10, 15) の非心 F-分布の確率密度関数の例を示す。

図１３. 非心度５の非心 F-分布の確率密度関数の例

　さらに、非心 F -分布で、非心母数 λ=0 の時、通常の F -分布と呼ぶ（(27) 式）。図１４は、自由度 (10, 15) の、通常の（中心）F-分布と非心 F-分布の確率密度関数を示す。

図１４. （中心）F-分布と、非心度５の非心 F-分布の確率密度関数の比較

　非心 F-分布の３次までの積率と歪度については、柴田 (1981) が示している。

　　3.2.3 非心 t-分布

　　　　3.2.3.1 非心 t-分布にかかわる定理

　二重非心 F-分布で、ν₁ = 1 の場合を二重非心 t² -分布 (non-central t²-distribution) と呼ぶ。この分布で、t² から t に変換したものを二重非心 t-分布 (doubly non-central t-distribution) と呼ぶ。
　同様にして、（一重）非心 F-分布で、ν₁ = 1 の場合を非心 t² -分布、さらに、t² から t に変換したものを非心 t-分布 (non-central t-distribution) と呼ぶ。すなわち、互いに独立な２つの確率変数 Z₁ ,Z₂ のうち、Z₁ が N (λ ,1)、Z₂ が自由度 ν の（中心） χ² -分布に従う時、変換

により、非心母数 λ を持つ自由度 ν の t-分布が得られる。非心母数 λ を持つ自由度 ν の t-分布の確率密度関数は、次式で表される：

(101)

ここで、λ > 0, -

, ν は正整数である。

　　　　3.2.3.2 非心 t-分布の形状とその特徴

　図１５は、非心度５の非心 t-分布の確率密度関数の図の例を示す:

図１５. 非心度５の非心 t-分布の確率密度関数の例

　非心 t -分布は、非心母数 λ =0 の時、通常の t -分布となる（(28)式）。

図１６. 自由度１０の（中心）t-分布と、同非心度５の非心 t-分布の確率密度関数の比較

　 3.3 離散分布

　　この節では、離散分布の代表的なものについて、それらの確率関数を示す。

　　3.3.1 ２項分布

　　　　3.3.1.1 ２項分布の確率関数

　第１は、２項分布 (binomial distribution) である。一回の試行で、ある事象の生起する確率が p であるとする。このような試行は、ベルヌイ試行 (a Bernoulli trial) と呼ばれる。ベルヌイ試行を独立に n 回繰り返したとき、x 回その事象の起こる確率は、２項分布で与えられる。ここでは、２項分布をBn (x,n,p) と書くものとする。この確率関数は、

(102)

3.3.1.2 ２項分布の形状とその特徴

　図１７は、n=6 で母比率 p を 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 と順に変えた２項分布の確率関数の例を MATLAB で描いたものである：

図１７. ２項分布の確率関数の例

　２項分布の期待値、平均の周りの２次から４次までの積率、ならびに歪度、及び尖度は、つぎの通りである。ここで、q = 1 - p とする：

　μ'₁ = E (X) = np、μ₂ = V (X) = npq、μ₃ = npq (q - p)、μ₄ = npq [ 3 (n - 2)pq +1]、

である。また、

２項分布は、γ₁ の値から、p > 1/2 の時負の歪みを、p < 1/2 の時正の歪みを持つ分布となる。また γ₂ の値から、常に緩尖分布であることに注意したい。ただし、２項分布は、γ₁ 及び γ₂ の値から明らかなように、パラメータ n が無限大の時は、歪みも歪度もゼロとなり、正規分布に一致する。

　　3.3.2 Poisson 分布

　　　　3.3.2.1 Poisson 分布の確率関数

　まれに起こる事象（例えば、古くは馬に蹴られて死ぬ兵士の数）は、しばしばPoisson 分布 (Poisson distribution) に従うことが知られている。この確率関数は次式で表される。ここで、 Poisson 分布のパラメータ λ は正の実数である。また、x は整数である:

(103)

　　　　3.3.2.2 ポアソン分布の形状とその特徴

　図１８は、母数 λ の値を 0.5, 1.0, 5.0, 10.0 とした場合の Poisson 分布の確率関数の例を示す。

図１８. Poisson 分布の確率関数の例

　ポアソン分布の期待値、平均の周りの２次から４次までの積率、ならびに歪度、及び尖度は、つぎの通りである：

　μ'₁ = E (X)=λ、μ₂ = V (X) = λ、μ₃ = λ、μ₄ = 3 λ² + λ、γ₁ = 1/(λ^1/2), γ₂ = 1/λ.

ポアソン分布は、γ₁ も γ₂ も正となり、常に正の歪みを持ち、かつ急尖分布であることに注意したい。ただし、ポアソン分布は、γ₁ 及び γ₂ の値から明らかなように、パラメータ λ が無限大の時は、正規分布となり、これらの特徴は消失する。

　 3.4 多変量分布

　これまでに紹介した理論分布は、すべて１変量の分布である。ここでは、多変量分布の代表的な幾つかを紹介する。それらは、多変量正規分布 (multivariate normal distribution)、多変量 t-分布 (multivariate t-distribution) などである。

　　3.4.1 多変量正規分布

　　　　3.4.1.1 多変量正規分布の確率密度関数

　多変量正規分布 (the multivariate normal distribution) は、(24) 式で示した１変量の正規分布を多変量に拡張したもので、その確率密度関数の一般形は、

(104)

として表される。ここで、A は定数 a_jk, j, k=1, ..., p を要素とする p 次の正方行列、x は確率変数 x_j, j=1, ..., p を要素とする p 次元ベクトル、 μ は確率変数の各々の平均 μ_j, j=1, ..., p を要素とする p 次元ベクトルである。
　ここで、もし　A の階数 (rank) が次数 p に等しければ、（階数 p の）p 変量正規分布 (p-variate normal distribution)、階数が p より小さい r であれば、階数 r の p 変量正規分布（あるいは、退化多変量正規分布 degenerate multinormal distribution) と呼ばれる。
　また、A の階数が p の場合、A の逆行列が定義でき、p 個の確率変数の共分散行列 Σに等しい。すなわち、

(105)

ここで、行列 Σの (j, k) 要素は変量 j と k の(母）共分散 σ_jk、 (j, j) 要素は変量 j の(母）分散 σ_j² である。これを用いると、 (50) 式は

(106)

と書ける。こちらが通常の多変量正規分布の確率密度関数を表す。

　　　　3.4.1.2 多変量正規分布の形状とその特徴

　ここでは、多変量正規分布の確率密度関数の例として、２変量正規分布の確率密度関数の例を図１９に示す。

図１９. ２変量正規分布の確率密度関数の例

　　3.4.2 多変量 t-分布

　　　　3.4.2.1 多変量 t-分布の確率密度関数

　多変量 t-分布 (multivariate t-distribution)、より正確には多変量非心 t-分布 (multivariate noncentral t-distribution) の確率密度関数は、

(107)

と書ける。ここで、行列 R は p×p （母）相関行列で、その (j, k) 要素は変量 j と k の (母）相関係数である。一方、その (j, j) 要素は１である。また、ベクトル x 及び非心母数 λ は、p 次のベクトルである。
　(107) 式の多変量非心 t-分布は、非心母数ベクトルが λ=0 の場合、（中心）多変量 t-分布となる。

　　　　3.4.2.2 多変量 t-分布の形状とその特徴

　ここでは、多変量 t-分布の確率密度関数の例として、２変量 t-分布の確率密度関数の例を図２０に示す。

図２０. ２変量 t-分布の確率密度関数の例

　　3.4.3 多項分布

　　　　3.4.3.1 多項分布の確率関数

　一回の試行で k 個の相互に排反的な事象 (mutually exclusive events) E₁, ..., E_k のいずれかが生起し、それらの確率がそれぞれ p₁, ..., p_k であるとする。このような試行を独立に n 回繰り返したとき、E₁, ..., E_k がそれぞれ x₁, ..., x_k 回起こる確率は、多項分布 (multinomial distribution) で与えられる。多項分布の確率関数は次式で表される。

(108)

ここで、

および

であるものとする。さらに、右辺のカッコ記号は n 個の中にカテゴリー C₁ が x₁個、カテゴリー C₂ が x₂個、...、カテゴリー C_k が x_k個含まれる組合せ (combination) 総数を表すものとする。ここで、各 x_j (j=1,...,k) は、0 から n の値を取る。3.3.1 節の２項分布は、明らかに多項分布の特別なケースである。

　　　　3.4.3.2 多項分布の形状とその特徴

　図２１は、多項分布の確率関数の例（三項分布）を示す：

図２１. 多項分布の確率関数の例（三項分布）

　 3.5 中心極限定理

これまで述べてきた各種の基本的な統計量の分布は、すべてそのもとになる確率変数に対して、何らかの分布を仮定することにより導かれた。それに対して、つぎに示す中心極限定理は、個々の確率変数に対してはその積率に対して非常に弱い条件を課するだけで、確率変数の和の分布が標本のサイズを大きくすれば、正規分布に近づくことを保証する。一口に中心極限定理といっても、最初の De Moivre-Laplace の定理から、Lyapunov の定理、Lindeberg-Feller の定理などがあるが（例えば、柴田、1981）、ここでは Lindeberg-Feller の定理のみを示す。

定理　11
X₁,X₂,...,X_n,... を互いに独立な確率変数の列、X_n の分布関数を F_n (x ) とする。n =1,2,... について E (X²_n )<\infty$ とし、μ_n =E (X_n )、 σ²_n =V (X_n)、 W_n =X₁ +X₂ + ... +X_n 、 s²_n=σ²₁ +σ²₂ + ... +σ²_n と置く。つぎの 1. 及び 2. が成立するための必要十分条件は 3. が成立することである。
(W_n -E(W_n ))/ s_n の極限分布は N (0,1) である。 Lindeberg の条件：任意の ε>0 に対して
	(109)

第４章仮説の検定と２種類の過誤

この節では、Kendall and Stuart (1973) に従って、統計的仮説の検定と２種類の過誤についてまとめる。

　 4.1 統計的仮説検定と２種類の仮説

Kendall and Stuart (1973) によれば、一般に科学的仮説 (scientific hypothesis) と呼ばれるものは、データに基づいてその真偽を検証するための言明である。この特別な場合を、われわれは統計的仮説 (statistical hypothesis) と呼ぶ。
　統計的仮説検定におけるデータは、何らかの母集団からのサイズ N の標本 x₁,x₂, ... ,x_N であり、これを１つのベクトル x と考える時、 N 次元空間の点として表せる。したがって、この空間を標本空間と呼ぶ。この標本空間の定義は、 1.2 で述べたそれと若干異なるので、注意が必要である。
　ベクトル x を確率変数とみなすと、それは一定の分布を持つ。したがって、われわれがもし標本空間の中のある領域 w を選ぶとすれば、標本点 x が w に入る確率 P (x \in w ) を計算することができる。これに関する仮説が統計的仮説である。
　統計的仮説にはいろいろなものがある。１つは、分布の母数 (parameter) に関するものであり、他方は分布の形に関するものである。前者はパラメトリック仮説 (parametric hypothesis)、後者はノンパラメトリック仮説 (non-parametric hypothesis) と呼ばれる。

　 4.2 単純仮説と複合仮説

前節で述べたパラメトリック仮説にも、２種類を考えることができる。ここで、ある分布の母数を θ₁,θ₂. ... ,θ_l と書くこととする。この母数の組 (θ₁,θ₂. ... , 　θ_l ) は、母数空間 (parameter space) 　を構成する。
　ある仮説が、この母数空間のうちの k 個を指定するものとする。もし、k = l ならば、その仮説は単純仮説 (simple hypothesis) であると言い、　もし、 k < l であれば、複合仮説　(composite hypothesis) であると言う。
　幾何学的には、もし仮説が母数空間内の点を指定するものならば単純仮説であり、部分領域 (sub-region) を指定するものであれば複合仮説である。

　 4.3 棄却域と対立仮説

観測値に基づいて、ある仮説を検定するためには、われわれは標本空間を２つの領域に分けなければならない。もし、標本点 x がそれらのうちの１つ例えば w に落ちるならば、われわれは仮説を棄却 (reject) する。これに対して、もし標本点 x が補領域　W - w に落ちるならば、われわれは仮説を採択 (ccept) する。また、ここで w を検定の棄却域 (critical region of the test) と呼び、領域 W - w を採択域 (cceptance region) と呼ぶ。また、検定される仮説を、帰無仮説 (null hypothesis) と呼ぶ。
　さて、帰無仮説のもとでの観測値の分布がわかれば、われわれは帰無仮説 H₀ を棄却する確率があらかじめ設定された値 α に等しいような領域 w を決めることができる。すなわち、

(110)

この (56) 式の α を有意水準 (level of significance) と呼ぶ。これを検定のサイズ (size of the test) と呼ぶこともある。

　 4.4 ２種類の過誤と検出力

帰無仮説と対立仮説の議論からは、統計的検定に際して２種類の過誤 (error) が存在することがわかる。それらは、つぎの２つである。

帰無仮説が正しい時に、それ（帰無仮説）を棄却する。
対立仮説が正しい時に、それ（対立仮説）を棄却する（帰無仮説が間違っている時に、それ（帰無仮説）を採択する）。

これらの過誤を、それぞれ第１種（Type I）の過誤 (error of the first kind)、第２種（Type II）の過誤 (error of the second kind) と呼ぶ。
　第１種の過誤は、危険率 (level of significance) に等しい。第２種の過誤を β と書くとして、1-β を検出力 (power of the test) と呼ぶ。統計的検定における帰無仮説は、多くの場合、何らかの母数間に差がないことを意味するので、検出力が高い（1-β の値が大きい）検定とは、母数間に差がある時それを検出する力の大きい検定である、と言える。
　一般に、帰無仮説の検定に際して同じ危険率を持つような棄却域のうち、いずれを選ぶかという時には、第２種の過誤が最小、すなわち検出力が最大になるような棄却域が望ましいと言える。このような棄却域は、最良棄却域 (best critical region 略して BCR) と呼ばれる。また、BCR に基づく検定は最強力検定 (most powerful test　略して MP 検定) と呼ばれる。

　 4.5 片側検定と両側検定

一般に、棄却域を分布の片側にとる検定を片側検定 (one-sided test)、分布の両側にとる検定を両側検定 (two-sided test) と呼ぶ。例えば、平均値の差の検定に際して、どちらの検定方式を用いるべきかは、対立仮説がどのようであるかによる。もし、対立仮説が単に両群に差があるというものであれば、危険率を分布の両側に分けた方が、一般的に言って第２種の過誤を小さくするには無難であることが容易にわかる。もっとも、検定によっては最初から片側検定しか考えられない場合もあるので、注意が必要である。

第５章 Bayes の定理・最尤原理とML 推定量
　 5.1 Bayes の定理

定理　11
q₁, ... ,q_n を情報 H のもとでの N 個の排反的言明とする。この時、H のもとで言明 p が真の時、言明 q_r (r =1, ... ,n ) が真である確率 p (q_r /p ,H ) は、つぎのように書ける。
	(111)

Bayes の定理は、情報 H のもとで言明 p が真の時、N 個の排反的言明のうち q_r が真である確率は、q_r が真である確率に、q_r が真の時に言明 p が真である確率を掛けたものに比例することを意味している。

　 5.2 事前・事後確率と尤度

前節の (31) 式は、つぎのようにも書ける。

(112)

ここで、(112) 式の右辺の L (p / q_r,H ) は (111) 式の p (p / q_r,H ) をそのように書き直したにすぎない。
　さて、ここで p を広義のデータとみなしてみよう。この時、(112) 式の左辺 p (q_r / p,H ) は、情報 H のもとでデータ p が与えられた時、N 個の排反的仮説 q₁ , ... ,q_n のうちの q_r が真である確率で、事後確率 (posterior probability) と呼ばれる。
　一方、(112) 式の右辺の p (q_r / H ) は、データ p に無関係に、情報 H のもとで仮説 q_r が真である確率と考えられ、事前確率 (prior probability)と呼ばれる。
　最後に、(112) 式の L (p / q_r,H ) は、情報 H のもとで仮説 q_r が真の時、データ p を手にする確率であり、尤度 (likelihood) と呼ばれる。
　このように (112) 式を解釈すると、(111) 式の Bayes の定理は、つぎのようにも言える：

事後確率は、事前確率と尤度の積に比例する。

例　壷の中に４つの球が入っているが、中は見えないとする。さらに、球の構成は、(1) すべて白、か (2) ３つは白で１つは黒、のいずれであることはわかっているとする。この壷の中から球を１つ取り出しては元に戻す、すなわち復元抽出を繰り返すとする。この試行から、球の構成についてのうえの２つの仮説（これらをそれぞれ q₁ , q₂ であるとする）のいずれが真であるかを判断する問題を考えてみよう。
　まず、１つの球を取り出したら白であったとする。これがデータ p にあたる。また、H は、このような条件下での第１試行時にわれわれが手にしている情報を指す。この時、q₁ , q₂ の尤度は、

(113)

である。
　一方、この時の q₁ , q₂ の事前確率 p (q₁ /H ), p (q₂ /H ) は、共に未知である。したがって、データ p すなわち第１試行で白い球を手にした時、 q₁ , q₂ が真である確率、すなわち事後確率は、計算できない。一般に、このような事態に遭遇した時どうのような仮説を選ぶかについて、いろいろな方法が提案されているが、それらのうちの代表的なものが、つぎに述べる Bayes の提案と最尤原理である。

　 5.3　Bayes の提案と最尤原理

事前確率が未知の場合の仮説選択の第１の方法は、 Bayes の提案 (Bayes' postulate)、または不可知均等分布の原理 (principle of equidistribution of ignorance) と呼ばれ、統計的推論の理論の中で、最も大きな論点の１つである。

（Bayes の提案）複数の仮説の事前確率が共に未知の場合は、それらはすべて等しいとみなす。

　第２の方法は、最尤原理 (maximum likelihood principle) である。

（最尤原理）複数の仮説の事前確率が共に未知の場合は、尤度最大の仮説を選ぶ。

　 5.4　最尤原理とML推定量

一般に、サイズ N の標本 x₁, ... ,x_N から、それらが得られた母集団の特徴を表す未知数、すなわち母数 (parameter) θを特定する問題を考えてみよう。この場合、帰無仮説 H₀: θ= θ_0r は、(58) 式では、仮説 q_r にあたる。
　もし、θ の事前確率、すなわち p(θ =θ_0r/H) が既知であれば、Bayes の定理を用いてすべての仮説 r 個のそれぞれの事後確率を計算し、データのもとで事後確率が最大になるような仮説 θ =θ_0r/H を選べばよい。
　しかし、一般には θ の事前確率は未知の場合が多い。このような時、 (32) 式の尤度 L(p / q_r , H) 、すなわち仮説 H₀: & theta;= &theta_0r のもとでデータが得られる尤度を最大にする仮説を選ぶことにするのが、最尤原理のこの問題への適用である。
　さて、情報 H のもとでは、θ を母数とする密度関数が f(x /θ) であることがあらかじめわかっているとする。この時、標本 x₁, ... , x_N の得られる尤度は、データがうえの分布に従う母集団からの互いに独立な標本であるとすれば、

(114)

と書ける。(60) 式は、x₁, ... ,x_N の同時分布 (joint distribution) を与えるもので、正確には標本の尤度関数 (likelihood function of the sample)、略して標本の LF (LF of the sample) と呼ばれる。
　最尤原理からは、θ の取りうる値の範囲（値域）で、LF を可能な限り大きくするような

を選ぶのがよいことになる。そのような

は、最尤推定量 (maximum likelihood estimator) と呼ばれる。

第６章推定量とその性質
　 6.1 母数と推定量

(4.1) 節で既に母数の概念を、統計的分布に関して導入した。しかし、一般には母数は分布のそれに限定されるものではない。われわれが何らかの統計的モデルを考えるとき、それを特徴づける未知数（パラメータ）のことを、統計学ではすべて母数 (parameter) と呼ぶ。したがって、母数には (4.1) 節における何らかの分布のそれであることもあるし、何らかの統計的モデルの未知数であることもある。
　いずれにせよ、統計学の基本的な課題は観測値 (observation) としての標本を手にしたとき、それを用いて標本が得られた母集団における未知の母数を推定したり、母数についての何らかの帰無仮説が正しいかどうかを検討したりすることである。後者は、検定の問題となる。
　一般に、このような課題における標本から作られる量（関数）のことを統計量と呼ぶことは、既に (2.1) 節で述べた。そこで述べた

をここでは s と書くものとする。もちろん、

(115)

であり、s は１つの統計量である。

さて、確率変数 X が平均 θ、で分散 σ² に従うとすれば、互いに独立なサイズ N の標本に対する確率変数の平均値 s は、

(116)

なる正規分布に従うので、母平均 θ の推定値 (estimate) としての実現値を用いることは、１つの合理的な方法と言える。ここで、一般に s のような統計量が推定のために用いられる時、これを推定量 (estimator) と呼ぶ。また、一般に何らかの母数をうえのような１つの値で推定する方法を、点推定 (point estimation) と呼ぶ。

これに対して、母数をある区間に入る確率の言葉で推定する方法を区間推定 (interval estimation) と呼ぶ。うえの s= については、

(117)

が成り立つことを用いて、母平均 θ の信頼度 100(1-α) % の信頼区間 (confidence interval) は、

と書ける。ここで、z_α は単位正規分布 N(0,1) の上側点を指す。

　 6.2 推定量の持つべき性質

標本にもとづき母数 θ の推定を行う場合、θ の推定量がどのような性質を持つことが望ましいであろうか。これについては、従来から数理統計学の分野では幾つかの特性が提案されてきた。１つは、推定量またはその期待値と、その母数との一致・不一致に関する特性である。２つ目は、推定量の精度 (precision) とりわけ、推定量のばらつき (dispersion) に関するものである。３つ目は、推定量の持つ情報量に関するものである。４つ目は、推定量の、母数からのばらつきに関するものである。

第１の性質には、一致性 (consistency) と不偏性 (unbiasedness) の２つがある。前者は、推定量の値が漸近的に (symptotically) （すなわちサンプル数が無限大になった時に）母数 θ に一致するかどうか、という性質である。これに対して、後者は、有限のサンプル数の場合、すなわち正確に (exact) 推定量の期待値が母数に一致するかどうかという性質である。

第２の性質についても、最小分散 (minimum variance、略して MV) 性に、２種類がある。１つは、推定量の漸近的な最小分散性で、他方は有限サンプルの場合のそれ（この場合には、さらに、MV の場合と最小分散限界 (minimum variance bound、略して MVB) の場合がある）である。漸近的な MV は、古典的、有限サンプルの場合は近代的な意味での有効性 (efficiency) の定義である。

第３の性質は、推定量の持つ情報の多さに関するもので、充足性とか十分性 (sufficiency) と呼ばれる。

第４の性質は、推定量の、母数からのばらつきの小ささであり、最小平均平方誤差 (minimum mean-square-error) である。

　 6.3 一致性と不偏性

推定量 s の値が漸近的に母数 θ に等しい、すなわち確率的に（θ に）収束する (converge in probability or stochastically) ケースには２通りある。このことから、一致性にも２通り考えられている。すなわち、１つは弱い意味での一致性 (consistency in the weak sense) で、

任意の ε > 0 に対して、サンプル数が無限大の時、
	(118)

もう１つは、強い意味での一致性 (consistency in the strong sense) で、

(119)

いずれの場合も、一致性を持つ推定量は、一致推定量 (consistent estimator) と呼ばれる。

例えば、(2.4) 節のチェビシェフの不等式を推定量に対して適用すると、

(120)

が得られるので、N が無限大の時となり、したがって s = は母平均の一致推定量である。

しかし、一般にある s が一致推定量であれば、例えば

もまた一致推定量となる、すなわち一致推定量は一意的には定まらない。そこで、有限のサンプル数に対して言及できる推定量の望ましい特性を考える必要性が生じる。一般に、推定量 s の期待値が母数 θ に等しいとき、この推定量は不偏性を持つといい、そのような推定量は、不偏推定量 (unbiased estimator) と呼ばれる。正確には：

(121)

ならば、s は母数 θ の不偏推定量であるという。

　 6.4 有効性と最小分散性

推定量 s の精度は、しばしばその標本分散

(122)

で表される。推定量の多くは、中心極限定理により、漸近的には正規分布になるので、n \to \infty$ の時、分布は平均と分散の２つの母数により決まる。古典的には、漸近的に最小分散になるような推定量は、有効性があるといい、そのような推定量を、有効推定量 (efficient estimator) と呼ぶ。もっとも、最近では漸近有効性も、１次、２次、３次等が区別されている。

いずれにせよ、古典的有効性が推定量の漸近的特性に関するものであるのに対して、有限のサンプルの場合にも推定量 s の標本分散、すなわち精度に最小値が存在することがわかったのは、比較的新しい。

Rao (1945) や Cram\'er (1946) により証明されたクラメール・ラオの不等式 (the Cram\'er-Rao inequality)

(123)

は、推定量 s が母数 θ の関数 τ(θ) の不偏推定量である場合に、推定量の最小分散限界 MVB を与える。

ここで、(123) 式の L は、互いに独立で同一な分布に従う (independent and identically distributed, 略して i.i.d. ) 母集団からの標本 x₁, ... ,x_N の尤度関数で、母数 θ のもとでの x₁, ... ,x_N の密度を f (x₁ /θ), ... , f(x_N / θ) とすれば、 5.4 節の (114) 式として表せる。また、τ(θ) は、推定量 s の期待値すなわち、

(124)

である。

(123) 式は、正則条件 (regularity conditions) と呼ばれるかなり一般的な条件下で成り立つことがわかっている。この条件下では

が成り立つので、(123) 式は

(125)

とも書ける。

(125) 式の特別な場合は、τ(θ)=θ すなわち推定量 s が θ の不偏推定量の場合で、この時には、

(126)

が成り立つ。ここで、

(127)

は、標本における情報量 (mount of information) と呼ばれる。この式から明らかなように、推定量 s の最小分散限界は標本における情報量が増えると、小さくなる。

MVB は、常に存在するとは限らないが、それより大きいところの最小分散 MV を持つ推定量は存在し、一意的に定まることがわかっている。この MV 推定量 (minimum variance estimator) は、近代的な意味での有効推定量と言える。

　 6.5 充足性（十分性)

これまで述べてきた推定量の持つべき特性とは異なり、推定量の持つ情報量に関する特性が充足性（十分性）の概念である。

正確には、

推定量 s は、母数 θ について、サンプルのすべての情報を含むとき、充足性（十分性）がある、

という。また、そのような特性を持つ推定量は、充足（十分）推定量 (sufficient estimator) と呼ばれる。

一般に、ある推定量が充足（十分）推定量であるかどうかの判定には、つぎの分解基準 (factorization criterion) もしくはネイマン基準 (the Neyman criterion) を用いる。

(128)

　 6.6 尤度比検定

　一般に、サイズ N の標本 x₁, ... ,x_N から、それらが得られた母集団の未知数すなわち母数 θ についての何らかの仮説の検定を行う問題を考えてみよう。ここでは、N 個の標本も母数も共にベクトル量である一般形を考えるものとする。

さて、母数 θ は θ=(θ^t_r , θ^t_s)^t なる列ベクトルとする。また、r \geq 1, s \geq 0$ であるとする。さらに、 5.4 節で述べた標本の尤度関数を

(129)

とする。 5.4 節では、標本はベクトル量でなくスカラー量であったことに注意せよ。

この時、帰無仮説

(130)

を、対立仮説

(131)

に対して検定したいとする。うえの帰無仮説は、もし s =0 ならば単純仮説、もし s \geq 1$ ならば、複合仮説である。

尤度比検定(likelihood ratio test) とは、一般につぎの尤度の比の分布を用いて上述の帰無仮説を検定する方法である：

(132)

ここで、分母は尤度

の無条件最大値を与える ML 推定量、一方分子は (75) 式の帰無仮説が正しい時の尤度

の、 θ_sの条件付き最大値を与える ML 推定量を必要とする。

ただし、特定の場合を除き、一般的には尤度比の正確な分布はわかっていないので、

が帰無仮説のもとで、漸近的に自由度 r の χ² -分布に従うことを利用して検定を行う。ここで、r は全母数 k =r + s から局外母数の数 s を差し引いたものである。

図解・心理統計学の基礎

第１章 事象・確率・標本空間 1.1 事象

1.2 確率・標本空間・確率変数

1.3 条件付確率と事象の独立性

1.4 確率不等式

第２章 分布 2.1 度数分布・母集団分布・標本分布

2.2 離散分布と連続分布

2.3 確率密度と分布関数

2.4 確率変数の期待値と分散

2.5 積率と積率母関数

2.5.1 積率の定義

2.5.2 絶対積率、母積率と標本積率

2.5.3 確率母関数と積率母関数

2.5.3.1 確率母関数

例１ ２項分布の確率母関数と積率

例２ ポアソン分布の確率母関数と積率

2.5.3.2 積率母関数

例１ 正規分布の積率母関数と積率

2.6 特性関数とキュミュラント

2.6.1 特性関数

例１ 平均ゼロの正規分布の特性関数と積率

例２ ガンマ分布の特性関数と積率

2.6.2 キュミュラント

例１ 正規分布のキュミュラント

第３章 基本的な統計量の分布と非心分布

3.1 連続分布

3.1.1 正規分布

3.1.1.1 正規分布にかかわる定理

3.1.1.2 正規分布の形状とその特徴

3.1.2 χ2-分布

3.1.2.1 χ2-分布にかかわる定理

3.1.2.2 χ2-分布の形状とその特徴

3.1.3 F-分布

3.1.3.1 F-分布にかかわる定理

3.1.3.2 F-分布の形状とその特徴

3.1.4 t-分布

3.1.4.1 t-分布にかかわる定理

3.1.4.2 t-分布の形状とその特徴

3.1.5 ガンマ分布

3.1.5.1 ガンマ分布にかかわる定理

3.1.5.2 ガンマ分布の形状とその特徴

3.2 非心分布

3.2.1 非心 χ2-分布

3.2.1.1 非心 χ2-分布

3.2.1.2 非心 χ2-分布の形状とその特徴

3.2.2 非心 F-分布

3.2.2.1 非心 F-分布にかかわる定理

3.2.2.2 非心 F-分布の形状とその特徴

3.2.3 非心 t-分布

3.2.3.1 非心 t-分布にかかわる定理

3.2.3.2 非心 t-分布の形状とその特徴

3.3 離散分布

3.3.1 ２項分布

3.3.1.1 ２項分布の確率関数

3.3.1.2 ２項分布の形状とその特徴

3.3.2 Poisson 分布

3.3.2.1 Poisson 分布の確率関数

3.3.2.2 ポアソン分布の形状とその特徴

3.4 多変量分布

3.4.1 多変量正規分布

3.4.1.1 多変量正規分布の確率密度関数

3.4.1.2 多変量正規分布の形状とその特徴

3.4.2 多変量 t-分布

3.4.2.1 多変量 t-分布の確率密度関数

3.4.2.2 多変量 t-分布の形状とその特徴

3.4.3 多項分布

3.4.3.1 多項分布の確率関数

3.4.3.2 多項分布の形状とその特徴

3.5 中心極限定理

第４章 仮説の検定と２種類の過誤

4.1 統計的仮説検定と２種類の仮説

4.2 単純仮説と複合仮説

4.3 棄却域と対立仮説

4.4 ２種類の過誤と検出力

4.5 片側検定と両側検定

第５章 Bayes の定理・最尤原理とML 推定量 5.1 Bayes の定理

5.2 事前・事後確率と尤度

5.3 Bayes の提案と最尤原理

5.4 最尤原理とML推定量

第６章 推定量とその性質 6.1 母数と推定量

第１章事象・確率・標本空間
　 1.1 事象

　 1.2 確率・標本空間・確率変数

　 1.3 条件付確率と事象の独立性

　 1.4 確率不等式

第２章　分布
　 2.1 度数分布・母集団分布・標本分布

　 2.2 離散分布と連続分布

　 2.3 確率密度と分布関数

　 2.4 確率変数の期待値と分散

　 2.5 積率と積率母関数

　　2.5.1 積率の定義

　　2.5.2 絶対積率、母積率と標本積率

　　2.5.3 確率母関数と積率母関数

　 2.5.3.1 確率母関数

　例１　２項分布の確率母関数と積率

　例２　ポアソン分布の確率母関数と積率

　 2.5.3.2 積率母関数

　例１　正規分布の積率母関数と積率

　 2.6 特性関数とキュミュラント

　　2.6.1 特性関数

　例１　平均ゼロの正規分布の特性関数と積率

　例２　ガンマ分布の特性関数と積率

　　2.6.2 キュミュラント

　例１　正規分布のキュミュラント

第３章基本的な統計量の分布と非心分布

　 3.1 連続分布

　　3.1.1 正規分布

　　　　3.1.1.1 正規分布にかかわる定理

　　　　3.1.1.2 正規分布の形状とその特徴

　　3.1.2 χ²-分布

　　　　3.1.2.1 χ²-分布にかかわる定理

　　　　3.1.2.2 χ²-分布の形状とその特徴

　　3.1.3 F-分布

　　　　3.1.3.1 F-分布にかかわる定理

　　　　3.1.3.2 F-分布の形状とその特徴

　　3.1.4 t-分布

　　　　3.1.4.1 t-分布にかかわる定理

　　　　3.1.4.2 t-分布の形状とその特徴

　　3.1.5 ガンマ分布

　　　　3.1.5.1 ガンマ分布にかかわる定理

　　　　3.1.5.2 ガンマ分布の形状とその特徴

　　3.2.1 非心 χ²-分布

　　　　3.2.1.1 非心 χ²-分布

　　　　3.2.1.2 非心 χ²-分布の形状とその特徴

　　3.2.2 非心 F-分布

　　　　3.2.2.1　非心 F-分布にかかわる定理

　　　　3.2.2.2 非心 F-分布の形状とその特徴

　　3.2.3 非心 t-分布

　　　　3.2.3.1 非心 t-分布にかかわる定理

　　　　3.2.3.2 非心 t-分布の形状とその特徴

　 3.3 離散分布

　　3.3.1 ２項分布

　　　　3.3.1.1 ２項分布の確率関数

　　3.3.2 Poisson 分布

　　　　3.3.2.1 Poisson 分布の確率関数

　　　　3.3.2.2 ポアソン分布の形状とその特徴

　 3.4 多変量分布

　　3.4.1 多変量正規分布

　　　　3.4.1.1 多変量正規分布の確率密度関数

　　　　3.4.1.2 多変量正規分布の形状とその特徴

　　3.4.2 多変量 t-分布

　　　　3.4.2.1 多変量 t-分布の確率密度関数

　　　　3.4.2.2 多変量 t-分布の形状とその特徴

　　3.4.3 多項分布

　　　　3.4.3.1 多項分布の確率関数

　　　　3.4.3.2 多項分布の形状とその特徴

　 3.5 中心極限定理

第４章仮説の検定と２種類の過誤

　 4.1 統計的仮説検定と２種類の仮説

　 4.2 単純仮説と複合仮説

　 4.3 棄却域と対立仮説

　 4.4 ２種類の過誤と検出力

　 4.5 片側検定と両側検定

第５章 Bayes の定理・最尤原理とML 推定量
　 5.1 Bayes の定理

　 5.2 事前・事後確率と尤度

　 5.3　Bayes の提案と最尤原理

　 5.4　最尤原理とML推定量

第６章推定量とその性質
　 6.1 母数と推定量

　 6.2 推定量の持つべき性質

　 6.3 一致性と不偏性

　 6.4 有効性と最小分散性