第１章　線形時系列解析と非線形時系列解析の違い

　この時系列データのリカレンスプロットが、図 17 である。

図 17. 減衰振動時系列データの（カラー）リカレンスプロット

　この図の右下三角部のうちの左端の方をよく見ると、サインカーブの場合のような穴模様が縮小していく様子が見れる。

　人工的時系列信号のつぎの例として、よく知られた間欠性カオス (intermittent chaos) （例えば、Aizawa & Kohyama, 1984; Kohyama, 1984; Manneville, 1980; Manneville & Pomeau, 1980) を図 18 に示す。この図は、Aizawa and Kohyama (1984, p.847) の一次元修正ベルヌイ写像 (the modified Bernoulli map)

(24)

を表す (24) 式のパラメータのうち、B=3、C=0 としたケースである。また、写像の初期値は x (1)=0.1 とした、この修正ベルヌイ写像時系列信号の特徴は、図にあるように激しく振動するバースト層 (the bursting phase) と振動のないラミナー層 (the laminar phase) から成る点である。なお、彼らによれば、(24) 式のパラメータのうち C がゼロでない小さな値をとる場合には、この時系列はある限られた領域で定常的な時系列となり、f^-ν スペクトル (the f^-νspectrum) が観測できるという。

図 18. 間欠性カオス時系列データの例

　この時系列データのリカレンスプロットが、図 19 である。また、これをモノクロで表現したものが図 20 である。

図 19. 間欠性カオス時系列データの（カラー）リカレンスプロット

図 20. 間欠性カオス時系列データの（モノクロ）リカレンスプロット

　最後の人工時系列データとして、もう１つ非定常時系列データと見なせる例は、つぎの図２１である。このデータは Chino (2014, 2015) のデータで、２者関係の感情構造の歪みの変化に関する Chino (2002, 2014, 2015) の数理モデル

(25)

による人工的データである。ここで、当初 Chino (2000, 2002) では、z_j (n) と z_k (n) は、一般的には（有限次元）複素ヒルベルト空間上での対象 j および k の第 n 時点での位置座標を、w_jk (n) は対象 j から対象 k への第 n 時点での重み係数で実数値をとり、右辺最後の項の i は純虚数を表し.（次式で定義される）重み係数

(26)

は実数値をとるものと仮定していた。ここで、(26) 式の右辺の r_j (n) および r_k (n) は、対象 j および k の複素ヒルベルト空間上での原点からの長さを、 θ_j (n) および θ_k (n) はそれらの対象の偏角、すなわち各対象の実軸からの半時計周りの角度（ラジアン）を表す。また、c および α は実定数であり、ここではともに 1/50 とした。(26) 式の性質から　w_kj (n)=－w_kj (n) は自明である。

図 21.２者関係の感情構造の歪みの変化に関する時系列データの例

　なお、対象の複素ヒルベルト空間への埋め込みは、非対称 MDS の基礎定理である千野・白岩の定理（Chino and Shiraiwa's theorem）(Chino & Shiraiwa, 1993) に基づく。また、うえのモデル、とりわけ (25) 式は Chino (2000, 2002) のより一般的なモデル

(27)

(28)

(29)

(30)

の特別なケースであることに注意されたい。ここで、(27) 式の N は対象数であり、(25) 式では N=2 であることに注意したい。また、(27) 式の z_j (n) は、対象 j の p-次元（複素）ヒルベルト空間あるいは p-次元不定計量空間 (indefinite metric space) における位置座標ベクトルである。さらに q は同差分方程式の最大次数である。

　したがって、(27) 式から(30) 式で表される一般モデルにおける関係は２者関係に限定されず、 N の指定次第では３者以上のモデルも含むことがわかる。また、最近Chino (2014, 2015) は、(26) 式の r_j (n) および θ_j (n) が z とその共役複素数の関数になっているため、(25) 式やその一般化したモデル (27) 式が複素空間上の正則関数 (holomorphic function) にならない点を指摘し、数学の分野で開発されてきた複素力学系（例えば、上田ら、 1995）の知見を使えないことを踏まえ、それに対処するための方法を考察している。

　具体的には、１つの方法は、上記のモデルを特別ケースとして含むモデルには（p-次元）複素ヒルベルト空間を仮定せず、2p-次元のユークリッド空間 (Euclidean space) と同一視することであり、この種のモデルを族１モデル (family F1）と呼んでいる。このように考えれば、上記モデルを無理なく定義できる。ただし、その場合、複素力学系の理論を援用することはできない。

　２つ目の方法は、族１モデルにおける (26) 式の仮定を取り除くモデルを考えることであり、 Chino (2015) はそのようなモデルを、族２モデル (family F2) と呼ぶ。族２では、われわれはモデルの考察に複素力学系の知見を使うことが可能である。３つ目の方法は、族２のモデルの右辺に制御項や複素定数（実定数も可）を加えるもので、Chino (2015) はそれを族３モデル (family F3）と呼ぶ。

　いずれにせよ、上記図 21 の時系列データのリカレンスプロットを行った結果が、図 22 である。

図 22. ２者関係の感情構造の歪みの変化に関する時系列データの（カラー）リカレンスプロット　

　この図の中で大部分を占める 100回目より少し後の時点からの特徴は、図 21 のもとの信号の特徴からも推察できるように、図 16 の減衰振動的振る舞いの場合のリカレンスプロット（図 17）的な特徴を持っていることがわかる。

　1.2.4　観測時系列データの例

　　例１．実際の時系列データ１（バッハのアリアの一節）

　最初の観測時系列データは、YouTube からダウンロードしたバッハのアリアの最初の１８秒弱のメロディー信号である（図 23)。このデータのフォーマットは mp3 (MPEG-1 Audio Layer-3) である。mp3 の２チャンネルのうち、ここでは第１チャンネルのデータを用いた。YouTube のサンプリング周波数 (sampling frequency) は、この場合 44.1 kHz であるので、１８秒弱でもデータポイント数は80万個弱の膨大な数値信号から成る。ここでは、そのうちの最初から一万個、つぎの一万個と、一万個ずつ数区分を取り出し、それぞれに対して解析を行った結果を示す。これらは、もとの信号の１０分の１弱の冒頭部分に対する線形及び非線形時系列解析の結果である。

図 23. YouTube のバッハのアリアの冒頭部の時系列データの例　

　このデータが定常性を持つならば、簡単にこのデータの自己相関（関数）やパワースペクトル、さらにはリアプノフ指数等を計算できるが、アプリオリにはそのような仮定を設けることは危険であろう。そこで、試しに80万個弱から成る当該データの冒頭部の最初から１万個、つぎの１万個等、数個のセクションごとにまず自己相関を推定して見ると、時間とともに自己相関関数はかなり異なるものになっている。

　まず、図 24 から図 2図24 から図26 は、最初から１万個、３つ目の一万個、５つ目の一万個の時系列信号を示す。

図 24. バッハのアリアの最初の１万回の時系列信号

図 25. バッハのアリアの３つ目の１万回の時系列信号

図 26. バッハのアリアの５つ目の１万回の時系列信号

　また、それぞれの１万回の自己相関関数を順に示したのが、図 27 から図 29である。ここで、各時系列信号の自己相関関数は、MATLAB の xcorr コマンドにより求めた。この結果は、この時系列が定常性を持たないことを示唆している。

図 27. バッハのアリアの最初の１万回の信号の自己相関関数

図 28. バッハのアリアの３つ目の一万個の信号の自己相関関数

図 29. バッハのアリアの５つ目の一万個の信号の自己相関関数

　つぎに、上記３つの信号に対して、それぞれの信号の特徴をさらに詳しく見るためにリカレンスプロットを描いたのが図 30から図32である。これらをみると、各信号の特徴は、１万回の中でも複雑に変化していることがわかる。

図 30. バッハのアリアの最初の１万回の信号の（カラー）リカレンスプロット

図 31. バッハのアリアの３つ目の１万回の信号の（カラー）リカレンスプロット

図 32. バッハのアリアの５つ目の１万回の信号の（カラー）リカレンスプロット

　つぎに、それぞれのセクションごとの平均パワースペクトルを見てみよう。というのは、上記３つの信号は共に、リカレンスプロットを見ても必ずしも定常性を仮定できない。そのような場合、各１万回の信号に対して、単純にパワースペクトルを計算するのではなく、各信号を複数の区間に分割し Welch の方法（Welch, 1967) を用いたり、適当な区間に分割しそれぞれの区間のパワースペクトルを求めそれらの平均を求めたりする方法は古くから知られている。図33 から図 35 は、後者の方法により得られた平均パワースペクトルである。ここでは、そのためのソフトとして MATLAB の spectrogram コマンドを用いた。 MATLAB の当該コマンドの default は、区間数は８で重なり率は５０％である。

図 33. バッハのアリアの最初の１万回の信号の平均パワースペクトル

図 34. バッハのアリアの３つ目の１万回の信号の平均パワースペクトル

図 35. バッハのアリアの５つ目の１万回の信号の平均パワースペクトル

　周波数領域の両端を除く領域のパワースペクトルは２種類のものから成ることや、区間をずらしていくと、２種類目のパワースペクトルは f^-1（すなわち、1/f）に近い傾きから f^-2 に近い傾きに変化していっていることがわかった。

　なお、古典音楽のこの種の時系列解析のさきがけは Voss and Clarke (1977) に見ることができるが、彼らの論文では、バッハの第一ブランデンブルグ協奏曲の時系列信号が分析されており、 f^-1ゆらぎは、1 Hz より小さい周波数帯で確認されている。

　最後に、バッハのアリアの時系列がカオスの特徴を持っているかを、信号が１万回で相対的に最も安定している図 26 の５つ目の１万回の時系列信号について、リアプノフ指数を検討してみよう。図 36 は、まず同信号を３次元空間に埋め込み、近傍数を 20 としてリアプノフ指数を計算させた結果である。

図 36. バッハのアリアの５つ目の時系列データのリアプノフ指数

　うえの図を見ると、最大リアプノフ指数は明らかに正である。しかし、近傍数を 600 まで幾つか変化させて同指数を計算し、局所対大域プロットをしてみると、同指数はどんどん下降し、最後は負になってしまう。この結果は、少なくともバッハのアリアの５つ目の１万回の時系列信号に限定した場合、信号はカオスの特徴を持っていないことを示唆している。

　　例２．実際の時系列データ１（母音ア）

　観測時系列データの２つ目は、千野の母音ア（正確にはアー）の２秒間の音声をパソコンに取り込んだデータである。このデータの拡張子は wav (waveform audio format) であった。サンプリング周波数はこのデータも 44.1 kHz なので、信号は88,200 個の時系列である。

図 37. 千野の音声「アー」の原時系列データの例

　図 37. の時系列信号の中から最初の一万回、３つ目の一万回、５つ目の一万回の信号を取り出して描いたのが、図 38、図 39、図 40 である。

図 38. 千野の音声「アー」の最初の一万回の「時系列データの例

図 39. 千野の音声「アー」の３つ目の一万回の時系列データの例

図 40. 千野の音声「アー」の５つ目の一万回の時系列データの例

　これらの３つの一万回の時系列を見ると、図 36 の原時系列と同様、定常性は仮定できないようにみえる。そこで、これらの時系列信号の自己相関関数を計算して示したのが、図 41 から図 43 である。これらの信号の自己相関関数の計算は、MATLAB の xcorr コマンドによった。

図 41. 千野の音声「アー」の最初の一万回の時系列データの自己相関関数

図 42. 千野の音声「アー」の３つ目の一万回の時系列データの自己相関関数

図 43. 千野の音声「アー」の５つ目の一万回の時系列データの自己相関関数

　うえの結果からは、これら３区間における自己相関関数のみをみても、原系列の非定常性がうかがえるので、つぎに、これら各区間でのパワースペクトルを spectrogram コマンドで分析してみた。図 38 から図 40 の各１万時点から成る区間での時系列信号を見ると、バッハのアリア以上に非定常性がうかがえるので、ここでは、バッハのアリアの場合以上に各１万回のデータを細かく３９区間に区切ることにした。図 44 から図 46 は、それらの結果を示す。

図 44. 千野の音声「アー」の最初の一万回の時系列データの平均パワースペクトル

図 45. 千野の音声「アー」の３つ目の一万回の時系列データの平均パワースペクトル

図 46. 千野の音声「アー」の５つ目の一万回の時系列データの平均パワースペクトル

１. 3　時系列データ間引きの影響

　この節では、時系列データの間引きの影響について考察する。現実の時系列データの中にはしばしば時点数が膨大な大きさになる。例えば、前節で紹介した音声データは通常 44.1 kHz なので、たとえ１秒間のデータでさえ、データは 44,100 時点のデータとなる。その結果、３０秒の音声データでさえ、１００万時点以上のデータポイントとなる。このようなビッグサイズのデータは、現状での通常のパソコンでは解析不能なことが多い。

　これを回避するためには、われわれはそのようなビッグデータを一定の規則で間引く必要がある。しかし、もとのデータを間引いた場合、もとの時系列の特徴、例えば位相は保存されるのであろうか。第１節では、まず単純な正弦波時系列を間引くことにより、時系列の特徴の変化の有無を検討する。以下の 1.3.1 節から 1.3.3 節は、千野（2015）の研究ノートを WEB 化したものである。

　1.3.1　正弦波時系列の間引きによる解軌道の特徴について

　ここでは、正弦波時系列 x=sin(t), t=1,2,...,N を間引きすることを考える。ここで、t はラジアン単位で与えるものとし、例えばもとの時系列は N=3,000 で、区間 t=[0,N]を0.1ラジアンステップで 30,000時点分発生させるとする。

　この時系列を間引き間隔 τで間引いた時系列を２次元空間に埋め込むとすれば、

(31)

３次元空間に埋め込むとすれば、

(32)

ここで、a=cosτ、b=sinτとおけば、a²+b²=1 に注意すると、まず（31）式より、

(33)

これを行列表現すれば、

(34)

ここで、

(35)

ここで、A の固有値は 1

、固有ベクトルは x=-y。そこで、座標軸の -π/4 の回転を行えば、

(36)

ここで、

(37)

より、（36）式を（34）式に代入して整理し、スカラー表現すれば、

(38)

このことから（33）式は楕円の方程式であることがわかる。

　　同様に、（32）式の z の右辺の展開から

(39)

これより（39）式は (y,z) 平面上の楕円であることがわかる。

　つぎに、（31）式でτ=1 の時、すなわち間引きをしない場合、時系列信号は正弦波となるが、τを大きくしていくと、時系列は正弦波とは異なるものが得られる。例えば、図47 はτ=100 とした場合の時系列信号を示す。ここで、図47a は間引き後の信号を、図47bはその最初の48時点分の信号を示す。

図 47. 正弦波の 1/100 間引き後の信号とその一部切り出し

　　図47bをみると、間引き後の信号は正弦波とは大きく異なることがわかる。そこで、この信号の位相的特徴を見るために、これを（18）式による３次元空間に埋め込んだのが図 48である。

図 48. 正弦波の 1/100 間引き後の信号の３次元埋め込み結果（点列の隣接２時点間を線分で結んだもの）

　図 48 の信号は、一見３次元空間上に広がるトーラスのようにもみえるが、この信号を３変数からなる多次元データと見て主成分分析を行うと、３番目の固有値はゼロであるので、この信号は２次元の広がりしか持たないことがわかる。そこで、図 48 の信号の最初の３時点分及び同６時点分のみをプロットして軌道の特徴を調べると、図 49 及び図 50 のようになる。

図 49. 正弦波の 1/100 間引き後の信号の３時点分の３次元埋め込み結果（点列の隣接２時点間を線分で結んだもの）

図 50. 正弦波の 1/100 間引き後の信号の６時点分の３次元埋め込み結果（点列の隣接２時点間を線分で結んだもの）

図 49、50 から、図 48 の解軌道の外側の境界は図 49 のような３点を頂点とする無数の３角形により構成される平面上の軌道に外接する楕円であり、内側の境界は同軌道に内接する楕円であるように見える。しかし、この推論は間違いで、解軌道はあくまでも図 48 の外側の楕円上にある。というのは、図 48 では解軌道を描くに際して点列の隣接２時点間を線分で結んでいるが、そもそも図 48 の時系列信号は、その発生のさせ方からは連続的な信号ではなく離散的な信号である。そこで、解軌道として隣接２時点間を線分で結ばず単に点列として３次元空間に埋め込み表示してみると図 51 となる。図 51 からは、解軌道が楕円軌道であることが明らかである。さらに、その解軌道は図 48 の一見トーラス的な図の外側の境界を結んだものであることも明らかである。結局、図 48 を MATLAB の３次元プロットルーチン plot3 で描くに際して、隣接する解軌道を線分で結んだことが間違いのもとであることがわかる。

　なお、（株）あいはらの SCT (Sunday Chaos Times) でも解軌道の多次元空間への埋込みに際しては、うえのような例の場合にも隣接２時点間を線分で結ぶので注意が必要である。

図 51. 正弦波の 1/100 間引き後の信号の３次元埋め込み結果（点列のみ）

1.3.2 幾何学的トーラスと力学系の軌道としてのトーラス

　　この節では、２種類のトーラスの例について述べ、第１節での正弦波時系列の間引き後の軌道特性との違いにふれる。それらは、幾何学的トーラスと力学系の軌道としてのトーラスである。

　　幾何学的トーラスは輪環面とも呼ばれ、３次元空間 (x,y,z) 内の例えば(x,z)平面の x 軸上で原点から十分離れた位置に中心を持つ円を描き、これを z 軸の周りに回転して得られる（例えば、小林、 p.46）。ここで、円の原点からの距離を Rとし、円を媒介変数表示（動径 r、偏角 θ）し、円のz軸からの回転角を Φ とすると、トーラスは、次式で表される。また、図 52 は R=5、r=1 としてこれを描いたものである：

(40)

図 52. 幾何学的トーラス（輪環面）の３次元表示

　　一方、力学系の解軌道として得られるトーラスの例として、ラングフォード方程式 (Langford equation) （Langford, 1984) を見てみよう。この方程式は、

(41)

なる３次元の非線形１階微分方程式系であり、よく知れているようにパラメータ A、B、 C、D、E、F によりトーラスやカオスが得られる。図53は、2-トーラス（準周期解）を生成する A=1、B=0.7、C=0.6、D=3.5、E=0.25、F=0 の第１変数の解軌道を示す。また、図 54はこの第１変数の解軌道を３次元空間に埋め込み、隣接２時点間を線分で結んだものである。これに対して、図 55 は３変数の解軌道を３次元上に点列として表示したものである。

図 53. ラングフォード方程式の第１変数の時系列信号

図 54. ラングフォード方程式の第１変数の解軌道の３次元埋め込み結果（点列の隣接２時点間を線分で結んだもの）

図 55. ラングフォード方程式の解軌道のトーラス局面（点列）

　図 54 を図 48 の正弦波の 1/100 間引き後の信号の３次元埋込み結果と比較しただけでは、図 54 の解軌道が３次元的な厚みを持ったものかどうかは判然としない。そこで、まず図 48 の場合と同様、この解軌道の３次元埋め込みデータを３変数データと見て主成分分析を行うと、その固有値は３つとも正となり、図 48 とは異なり３次元的な厚みを持つことがわかる。このことは、３変数の解軌道を３次元空間上に表示した図 55 を見ても確認できる。

1.3.3 結論

　いずれにせよ、図 48 の正弦波時系列を間引きすることにより得られる、一見（３次元的厚みのある）トーラスに見える、第１変数の解軌道は、図 55 のラングフォート方程式により得られる２次元トーラス (2-torus) と異なり、結局１次元トーラス (1-torus)（円）と同相となることがわかる。それでは、正弦波時系列をどんな間隔 τ で等間隔に間引いても、その位相は円と同相となるであろうか。

　さらに、周期的信号が単純な正弦波のようなものではなく、複数の周期の波が周期的に繰り返すような信号の場合はどうであろうか。そのような場合、間引き間隔次第では特定の周期の波がすべてカットされてしまうケースがあるとすれば、間引き前と間引き後で信号の位相は異なったものにならないであろうか。一方、間引き間隔を等間隔に取らないでランダムに取った場合 (nonuniform sampling) は、どのような位相になるか予想できない。また、カオス力学系の信号を等間隔で間引くと同相な信号が予想されるが、ランダムに取った場合はどんな位相になるのであろうか。

　この問題に対して、歴史的にはこれまで少なくとも２つの研究の流れがある。１つは、古くから知られたナイキストーシャノンの標本化定理 (Nyquist-Shannon sampling theorem) (例えば、Mishali et al., 2009; Nyquist,　1928; Shannon, 1949) に関係するもので、工学における信号検出の問題と見れる。他方は、いわゆる力学系の埋め込み定理 (embedding theorems) (例えば、Sauer et al., 1991; Takens, Takens, 1981; Whitney, 1936) に関わるもので、数学における可微分多様体 (differentiable manifold) の理論を背景に持つ問題である。次節では、後者の埋め込み定理について述べる。

　実は、Whitney (1936) に始まる埋め込み定理の展開の歴史をたどると、上記の問題については既に幾つかの結論が出ていることがわかる。とりわけ、上記最初の問題やつぎの複数の周期の波が周期的に繰り返すような信号の場合には、以降に紹介した定理のうち 1.4.2 節の観測１次元時系列の遅延埋め込み定理の中の Sauer et al. (1991) の Theorem 2.5 の中で解答が得られていることがわかる。例えば、正弦波時系列に限らず一般の周期時系列を含むような時系列においては、当該周期時系列の周期と一致する間引き間隔で間引くと、もとの時系列の位相は円であるが、間引かれた時系列の位相は線になってしまい、位相が異なるものになる。千野 (2015) は正弦波時系列の間引きに関するシミュレーションを行っているが、そこでは、間引きが等間隔の場合、如何なる間隔でサンプリングしてもその位相は円になる、と結論づけれているが、間隔が時系列の周期と一致する場合はこれに該当しないことを見落としていた。

１. 4　力学系の埋め込み定理

　この節では、時系列データにおける力学系の埋め込み定理を紹介する。力学系の埋込み定理としては、Whitney (1936) 以降、幾つかの重要な定理が知られている。それらは、大きく分けると多次元空間上の力学系に関するものと、観測１次元時系列に関するものである。

　1.4.1　多次元空間上の力学系の埋め込み定理

　　多次元空間上の力学系の埋め込み定理に関する主要なものとして、Whitney (1936)、Sauer et al. (1991) がある。これらのうち、Whitney の埋め込み定理は合原編 (2000) や Sauer et al. (1991) らが紹介しているが、原著の表現と比べると微妙に異なるので、ここではまず Whitney (1936) の原著での定理を紹介する。Whitney の定理は、原著を見ると、もともと可微分多様体 (differentiable manifold) の定義にかかわるものであることがわかる。

(1) Whitney の埋め込み定理^{註１から註１２}

Theorem 1 (Whitney). Any C^r-d-manifold (r

1 finite or infinite) is C^r-homeomorphic with an analytic manifold in Euclidean space E^2d+1.

　すなわち

定理 1 (Whitney). 任意の C^r級 d 次元多様体 (r1 で有限または無限) は 2d+1 次元ユークリッド空間　E^2d+1上の解析的多様体と C^r級位相同型である。

　なお、文献上では、Whitney の上記埋め込み定理を若干修正したり簡素化した定理として紹介しているものが見られる。例えば、Sauer et al. (1991, p.583) は上記定理を Whitney の埋め込み生成定理 (the embedding genericity theorem of Whitney (1936) としてつぎのように表現している。ここで、Sauer et al. は R をユークリッド空間の意味で使っていることに注意したい：

If A is a smooth manifold of dimension d, then the set of maps into R^2d+1 that are embeddings of A is an open and dense set in the C¹-topology of maps.

うえの定理で、Sauer et al. は、「生成的（generic）^註９」という概念を C¹-位相における開で稠密な (open and dense) 集合^註４という意味で使っている。いずれにせよ、合原編（2000, p.17) の定理 2.2.1 （ホイットニーの埋め込み定理）は、以下のように記されているが、明らかに上記 Sauer et al. の表現を踏襲している:

定理 2.2.1 (ホイットニーの埋め込み定理). A を d 次元のなめらかな多様体とする。このとき、A から R^2d+1 へのなめらかな写像全体の中で、埋め込み (embedding) となる写像の集合は C¹ 位相で稠密な開集合となる。ただし、"なめらかな" という言葉をC¹ 級の意味で用いる。

　一方、Guillemin and Pollack (1974, p.53) はもとの Whitney (1936) の定理を Whitney 定理（Whitney theorem）として次のように簡単に表現している：

Every k-dimensional manifold embeds in R^2k+1.

(2) Whitney のはめ込み定理^註１４

　Whitney (1936) は上記の埋め込み定理のみでなく、幾つかの他の定理についても述べている。そのうちの１つは Theorem 3（p.655) である。なお、これは彼の原著の Theorem 2 (p.654) にも関係する：

Theorem 3 (Whitney). Any C^r-m-manifold M (r1 finite or infinite) is C^r-homeomorphic with a proper analytic local manifold with at most regular singularities in E^2m.

この定理では、彼の上記 Theorem 1 と比べて、埋込みの次元が１つ減っていることに注意したい。ただし、この場合、埋め込み先の多様体は regular^註１３という制約がついている。このような写像は、正確には埋め込み(embedding) ではなく、はめ込み (immersion) ^註１４と呼ばれる。Guillemin and Pollack (1974, p.55) は、この定理を簡略化してつぎのように表現している：

The Whitney Immersion Theorem
　　　Every k-dimensional manifold X may be immersed in R^2k.

(3) Sauer et al. (1991) による Whitney の埋め込みプレバレンス定理

　Sauer et al. (1991) は、 Whitney の埋め込み定理をプレバレンス ^註１５ (prevalence) なる概念を導入することにより、つぎのような定理として拡張した。なお、ここでも彼らは R をユークリッド空間の意味で用いていることに注意したい。また彼らはなめらかな写像 (smooth map) を C¹級の意味で用いていることにも注意したい：

Theorem 2.2 (Whitney Embedding Prevalence Theorem). Let A be a compact smooth manifold of dimension d contained in R^k. Almost every smooth map R^k→R^2d+1 is an embedding of A.

　うえの定理を合原編 (2000, p19) では、定理 2.2.2 として以下のように表現している：

定理 2.2.2 （ホイットニー埋め込みプレバレント定理）　A を R^k 内のコンパクトでなめらかな多様体とし、その次元をd とする。m>2d のとき、 R^k から R^m へのほとんど全て (almost every) の C¹ 級関数 g=(g₁,…, g_m) は R^m での A の埋め込み (embedding) である。

　Sauer et al. (1991) は、うえの theorem 2.2 で A が多様体でない場合にも拡張した。つぎの定理はそれを示す：

Theorem 2.3 (Fractal Whitney Embedding Prevalence Theorem). Let A be a compact subset of R^k of box-counting dimension d, and let n be an integer greater than 2d. For almost every smooth map F: R^k→Rⁿ

F is one-to-one on A,
F is an immersion on each compact subset C of a smooth manifold contained in A.

ここで、ボックスカウント次元 (box-counting dimension) とは、一般に任意の図形の次元のうち、非整数値をとる場合の１つの指標である。通常の図形、例えば線、平面、立体は順に１次元、２次元、３次元の図形であるが、特別な図形ではこの値が整数ではなく、非整数値を取るものがある。例えば、コッホ曲線ではボックスカウント次元は 1.26... である。

　1.4.2　観測１次元時系列の遅延埋め込み定理

　　前節で紹介した定理は、すべて多次元空間上の力学系の埋込みに関するものであった。しかし、現実的には、そのようなもとの力学系は未知であることも多い。とりわけ、観測される時系列は１次元（１変数）であることがしばしばある。もし、もとの力学系を記述する微分方程式がわかっている場合には、その場合の時系列信号を y(t) として (y(t), y'(t), y''(t), …) なる微分座標系を用いることがある（例えば、Packerd et al., 1980)。これに対して、Takens (1981) は観測１次元時系列から以下のような時間遅れ座標系を構築した場合の埋め込みを提案した。

(1) Takens の埋め込み定理

　この定理における完備な多様体 (compact manifold) 上の力学系は、離散時間 (discrete time) の場合微分同相写像 (a diffeomorphism) φ: M → M、連続時間 (continuous time) の場合 M 上のベクトル場 (vector field) とする：

Theorem 1 (Takens). Let M be a compact manifold of dimension m. For pairs (φ, y), φ: M → M a smooth diffeomorphism and y: M → R a smooth function, it is a generic property that the map Φ_{(φ, y)}: M → R^2m+1, defined by

Φ_{(φ, y)}(x)=(y(x), y(φ(x)), …, y(φ^2m(x))
is an embedding; by "smooth" we mean at least C².

ここで、Takens は「なめらかな」(smooth) という意味を、”少なくとも C²級”の意味で使っているが、Noakes (1991) は、C¹級を含めて C^k級 (k1) としている。なお、上記の時間遅れ座標系に関しては、Sauer et al. (1991, p.588) は、遅延座標写像 (delay-coordinate map) という表現を使い、以下のように定義している：

Definition 2.4. If φ is a flow on a manifold M, T is a positive number (called the delay, and h : M → R is a smooth function, define the delay-cordinate map F(h, φ, T): M → Rⁿ by

F(h, φ, T)(x) =(h(x), h(φ_-T(x)), h(φ_-2T(x)), …, h(φ_-(n-1)T(x)))

ここで、遅延座標写像を得るということは、１次元の時系列データ h(x) から一定の時間間隔 T ごとにデータをサンプリングすることを意味する。また、そのようにして得られた数値は時系列 (time series) とみなされる。もちろん、T を上記定義のように T, -2T, …, -(n-1)T のような下降系列として定義しても、 T, 2T, …, (n-1)T のように上昇系列として定義しても、本質的には何らかわりはない。

　なお、合原編 (2000, p.23) では、上記 Takens の定理をつぎのように表現している。以下の定理では、Takens (1981) でのパラメータ m を d と表現しており、また埋め込み次元を m>2d と不等式を用いて表現している：

定理 2.2.4 (ターケンスの埋め込み定理（写像）). d 次元のコンパクトな多様体 M と C²級写像 f: M → M、g: M → R¹ が与えられたとき、 m>2d であれば、次式の写像 V: M → R^m は、生成的に (generic) 埋込みである：

V(x)=(g(x), g(f(x)), …, g(f^m-1(x))

(2) Sauer et al. (1991) のフラクタル遅延埋め込みプレバレンス定理

　Sauer et al. (1991, p.590) は、上記 Takens (1981) における、（１）「次元 d のなめらかな多様体 (smooth manifolds)」を「ボックスカウント次元 d を持つ完備集合 (compact sets) 」に、また（２）「生成的 (generic)」を「プレバレント (prevalent)」に置き換えることにより拡張した。つぎの Theorem 2.5 は、これを示す：

Theorem 2.5 (Fractal Delay Embedding Prevalence Theorem). Let φ be a flow on an open subset U of R^k, and let A be a compact subset of U of box-counting dimension d. Let n>2d be an integer, and let T>0. Assume that A contains at most a finite number of equilibria, no periodic orbits of φ of period T or 2T, at most finitely many periodic orbits of period 3T, 4T, …, nT, and that the linearizations of those periodic orbits have distinct eigenvalues. Then for almost every smooth function h on U, the delay coordinate map F (h, φ, T): U→ Rⁿ is:

One-to-one on A,
An immersion on each compact subset C of a smooth manifold contained in A.

ここで、上記 Theorem 2.5 での遅延座標写像 F (h, φ, T) は、Sauer et al. (1991) の少し上で紹介した Definition 2.4 のそれである。また、流れ (flow) とは連続時間上の微分方程式の解軌道を指すので、上記定理は連続系の場合の定理と言える。また、Sauer et al. (1991) は同論文の中のなめらかな関数 (smooth function) を C¹ 級の意味で使っていることに注意されたい。なお、上記定理の中の軌道の「線形化 (linearization)」については、このサイトの「付録　心理学における力学系の理論と方法」の中の 1.1.3 節　非線形一次微分方程式系の項を参照されたい。

　Sauer et al. (1991) の上記 Theorem 2.5 からは、d 次元のボックスカウント次元を持つ k 次元ユークリッド空間 R^k の開集合 U から n>2d 次元ユークリッド空間への遅延座標写像は、φを U 上の流れ (flow) とするとき、U 上の完備な開集合 A が

有限個の平衡点 (equilibria) を持ち、
φの軌道の中で周期が T または 2T になるような周期軌道は存在しない、
たかだか有限個の、周期が 3T, 4T, …, nT は存在する、
周期軌道の線形化による（線形部分のヤコビアンの）固有値は相異なる、

なる条件下では、埋め込み (embedding) となる、ことがわかる。

　このように、Sauer et al. (1991) の Theorem 2.5 では、上記 Theorem 2.2 や Theorem 2.3 の場合と異なり、遅延座標写像が埋込みであるためには幾つかの特別な条件が必要であることがわかる。とりわけ、それらの条件のうち、2. と 3. はφの周期軌道に関するもので、周期が T または 2T になるような周期軌道の存在のみを否定している点が興味深い。その理由を Sauer et al. (1991, p.589) は、つぎのように説明している：

　まず、A が連続力学系の周期軌道で、その周期がサンプリング区間 T に等しい場合、位相的には A は円 (circle) である。この場合、遅延座標写像 F (h, φ, T) は如何なる観測関数 h に対しても１対１ (one-to-one) にはならない。なぜならば、A の周期は T なので、h(x)=h(φ_-T(x))= … =h(φ_-(n-1)T(x)) となり、写像 F (h, φ, T) は、点 x を R ⁿ 上の対角線 (diagonal line) {(x₁, … , x_n): x₁= … = x_n} に写像する。円は連続的には線 (line) には１対１では写像できない。

　１対１写像は、A が周期 2T の周期軌道の場合も成り立たない。ここで、A 上の関数 d(x)=h(x) - h(φ_-T(x)) を定義する。関数 d は A 上のいずれかの点 x に対して恒等的にゼロまたは非ゼロであり、その場合それは写像点 φ_-T(x) で逆符号を持ち、A 上で符号を変える。いずれにせよ、d(x) は A 上で根 x₀ を持つ。A の周期は 2T なので、h(x₀)=h(φ_-T(x₀))= h(φ_-2T(x₀))= …. そこで、F (h, φ, T) は x₀ と φ_-T(x₀) を　R ⁿ 上の同一点上に写像する。もし、x₀ と φ_-T(x₀) が相異なる場合には、このことは F が１対１ではないことを意味する。これに対してもし x₀ = φ_-T(x₀) であれば、軌道は実際周期 T を持ち、F は上と同様１対１ではない。すなわち、周期 2T なる軌道の出現により、、F (h, φ, T) は如何なる観測関数 h に対しても１対１では有り得ない。

　合原編 (2000, p.24) の以下の定理 2.2.5 は、上記 Theorem 2.5 を遅延座標を補足して訳したものである。なお、合原編では、「遅延」を「時間遅れ」と記している：

定理 2.2.5 (フラクタル時間遅れ埋め込みプレバレント定理)（連続系）. φ を R^k の開部分集合 U 上のフロー、A を U のコンパクトな部分集合、A のボックスカウント次元を D₀とする。また、m>2D₀、時間遅れを τ>0 とする。A には、たかだか有限個の平衡点と有限個の pτ (3p m) の周期の周期解しか存在せず、τ あるいは 2τ の周期解はないとする。さらに、これらの周期軌道のリターン写像のヤコビアン行列は異なる固有値を持つとする。この時、ほとんど全ての U 上の C¹ 級関数に対して、次式の時間遅れ座標への変換 V は、

V(x)=(g(x), g(φ_-τ(x)), g(φ_-2τ(x)), …, g(φ_-(m-1)τ(x))　　(2.2.10)

A 上で１対１である。
A に含まれるなめらかな多様体のコンパクトな部分集合上でははめ込みとなる。

　ここで、上記 Sauer et al. (1991) の Theorem 2.5 に戻ると、この定理はつぎに示す微分同相写像 (diffeomorphism) の特別な場合である。

Definition 2.6. If g is a diffeomorphism of an open subset U of R^k, and h : U → R is a function, define the delay-cordinate map F(h, g): U → Rⁿ by

F(h, g)(x) =(h(x), h(g(x)), h(g²(x)), …, h(g^n-1(x)))

ここで、Sauer et al. (1991) の少しうえの Definition 2.4 では h はなめらかな関数 (a smooth function) であるが、Definition 2.6 では h は単に関数 (a function) となっていることに注意したい。いずれにせよ、 Definition 2.6 の関数を仮定すると、Theorem 2.5 におけるφを g と置き換える、すなわち Theorem 2.5 において g =φ_-T とすれば、Sauer et al. (1991) によるつぎの定理が得られる：

Theorem 2.7. Let g be a diffeomorphism on an open subset U of R^k, and let A be a compact subset of U, box-dim (A)=d and Let n>2d be an integer. Assume that for every positive integer pn, the set A_p of periodic points of period p satisfies boxdim(A_p)<p/2, and that the linearization Dg^p for each of these orbits has distinct eigenvalues.
　Then for almost every smooth function h on U, the delay coordinate map F(h, g): U→ Rⁿ is:

One-to-one on A,
An immersion on each compact subset C of a smooth manifold contained in A.

上記定理は Theorem 2.5 とは対照的に、離散系の場合の定理と言える。合原編 (2000, p.24) の定理 2.2.6 は、この定理に若干補足して訳したものである：

定理 2.2.6 (フラクタル時間遅れ埋め込みプレバレント定理)（離散系）. f を R^k の開部分集合 U 上の微分同相写像、A を U のコンパクトな部分集合、A のボックスカウント次元を D₀ とする。また、m>2D₀ とする。pm なるすべての自然数 p に対し、p 周期点の集合 A_p のボックスカウント次元は、p/2 より小さいとする。さらに、これらの周期軌道に対するヤコビ行列 D f^p は異なる固有値を持つとする。
　　この時、ほとんどすべての U 上の C¹ 級関数 g に対して、次式の時間遅れ座標への変換 V は、

V(x)=(g(x), g(f(x)), g(f²(x)), …, g(f^m-1(x))　　(2.2.11)

A 上で１対１である。
A に含まれるなめらかな多様体のコンパクトな部分集合上でははめ込みとなる。

　（註１）C^r級とは、一般に関数が r 回微分可能であることをいう。
　（註２）一般に n 次元多様体 M、n-多様体 (n-manifold) 、あるいは n 次元位相多様体 (n-dimensional topological manifold) とは、１つの位相空間 (topological space) で、つぎの性質を持つものをいう：　(1) M はハウスドルフ (Hausdorff) である。(2) M は局所的に(locall) n 次元ユークリッド空間（Eⁿ）である。 (3) M は下位集合の加算基 (countable basis) を持つ（例えば、Boothby, 1975, p.6; 数学辞典、2008)。
　（註３）なお、位相空間は任意の相異なる２点が互いに素な近傍 (neighborhoods) を持つ時ハウスドルフと呼ばれる。また、位相空間は一般に距離の概念を導入することなく集合論の観点からつぎのように定義される。すなわち、位相空間とは集合 X とその下位集合の集合 Q からなる対 (X, Q) でつぎの性質を持つものである： (1) 開集合の和集合が開集合である。(2) ２つの開集合の共通集合が開集合である。 (3) 空集合φとX が開集合である（例えば、Janich, 1984, p.5)。
　（註４）位相空間 (X, Q) において、開集合の補集合を X の閉集合 (closed set) という。X の任意の部分集合 A に対して、A を含む X の閉集合全体の共通集合は X の閉集合であり、これを位相空間 X における A の閉包 (closure) という。また、A の閉包が X に等しいとき、A は X で稠密 (dense) であるという（同上、数学辞典)。
　（註５）M を n 次元位相多様体とし、M の下位集合 U と U からユークリッド空間 Eⁿ の開集合への同相写像φとの組 (U, φ）を M の座標近傍 (coordinate neighborhood) という。Eⁿ の点 φ(p) (pU) のEⁿにおける座標を (x¹ (p), …, xⁿ(p)) とすれば、x¹, …, xⁿ は U 上の実数値関数であり、これらの n 個の関数の組 (x¹, …, xⁿ) を座標近傍における M の局所座標系 (local coordinate system)、(x¹(p), …, xⁿ(p)) を点 p の局所座標 (local coordinate) と呼ぶ。n 次元位相多様体 M の座標近傍の族 S={(U_α, φ_α)} _αA で {U_α}_αAが M の開被覆となるようなものが存在する。このような S を M の座標近傍系 (system of coordinate neighborhoods) と呼ぶ（同上、数学辞典)。
　（註６）位相空間 X の部分集合族 M={M_λ}_λA について、X=_λM_λ であるとき、M を X の被覆 (covering) という。さらに、被覆 M の元がすべて開集合であるとき、M を開被覆 (open covering) という（同上、数学辞典)。
　（註７）n 次元位相多様体 M の座標近傍系を S={(U_α, φ_α)} _αA とすると、S に属する任意の座標近傍 (U_α, φ_α)、 (U_β, φ_αβ) に対して、U_α U_β φ ならば、φ_βoφ_α^-1 は Rⁿ の開集合 φ_α (U_αU_β) から　Rⁿ の開集合 φ_β (U_α U_β) への同相写像である。Rⁿ の座標 (x¹, …, xⁿ) を用いて、(φ_βoφ_α^-1) (x)= (f ¹_βα(x¹, …, xⁿ), …, f ⁿ_βα(x¹(xⁿ,…, xⁿ))という形に表すことができる。n 個の関数 f ¹_βα, …, f ⁿ_βα が任意のα、βA (ただし、U_α U_β φ）に対して r 回連続微分可能（または（実）解析的）であるとき、S を C^r 級座標近傍系と呼ぶ（ただし 1r∞）（同上、数学辞典)。
　（註８）n 次元位相多様体 M が C^r 級座標近傍系 S（ただし、 1r ω）を持つとき、 M と S の組 (M, S）を n 次元 C^r 級微分可能多様体 (differentiable manifold of class C^r）、C^r 級多様体、またはC^r 級可微分多様体と呼ぶ。特にC^∞多様体はなめらかな多様体 (smooth manifold) 、また C^ω多様体は解析的多様体 (analytic manifold) とも呼ばれる（同上、数学辞典)。
　（註９）C^∞ 写像の性質が（強い意味で）生成的 (generic in the strict sense) とは、 Whitney の C^∞ 位相での開かつ稠密な (open and dense) 集合 U C^∞ (N, P) が存在して、U に属する任意の写像 f がその性質を持つことをいう。
　（註１０）X, Y を位相空間とし、X から Y への同相写像 (homeomorphism) が存在するとき、X と Y とは同相、同位相または位相同型 (homeomorphic) という（同上、数学辞典)。
　（註１１）X, Y を位相空間とし、f を X から Y への写像とする。写像 f が全単射 (bijection)で、f とその逆像 f^-1 がともに連続のとき、f を同相写像、または位相写像 (topological mapping) という（同上、数学辞典)。
　（註１２）f (A)=B であるような写像 f:A→B を上への写像 (onto map)、または全射 (surjection) という。また定義域が相異なる２つの元における値が常に異なる写像を１対１写像（one-to-one) 、または単射 (injection) という。全射でもある単射は全単射 (bijection) という（同上、数学辞典)。
　（註１３）写像は、もしそれぞれの点の近くで微分可能であり可微分な逆像 (differentiable inverse) を持つとき、regular（正則）であるという（例えば、Whitney, 1936, p.645）。
　（註１４）写像φ: M →　M' が C^∞ 級写像のとき、M の点での微分写像 dφ が単射（別名１対１）ならば、φはM の M' の中へのはめ込み (immersion) という。一方、はめ込み写像φが単射のとき、φは M の M' の中への埋め込み (embedding, or imbedding) という（同上、数学辞典）。
　　なお、Sauer et al. (1991, p.583) は、はめ込みと埋め込みの違いをわかりやすく次のように図示している。ここで、図中相空間 R^k 上のすべての軌道は周期的サイクル (periodic cycle) A に惹きつけられるとする。すなわち、A は位相的には R^k 上の円である。ここで、２つの可能な測定量 Q₁ と Q₂ を平面上にプロットしたとする。このとき、A から R² への F(状態）=(Q₁, Q₂) により与えられる測定写像 F が存在する。問題は、隠れたアトラクター A の性質が観測可能な"再構成空間" R² 上でどの程度保存されるかということである。

　　すなわち、Fig. 1.a は、写像 Fも微分写像 dFも単射で、埋め込みであることを示すが、Fig. 1.b は写像 F は単射ではないが（A上の２点が FA 上の一部で１点に対応）、dF は単射（A 上の２点で異なる微係数は、F(A) 上のクロス点でも別々の微係数を持つ）なので、埋込みとは言えない例、Fig. 1.c は F はこの場合１対１ではあるが、 A 上の１点に対応する F(A) 上の dFが２種類存在するのではめ込みとは言えない、したがって埋め込みとも言えない例を示している。

　（註１５）プレバレント (prevalent) とは、任意のノルム空間 (normed linear space) における稠密性 (dense) を意味する（例えば、Sauer et al., 1991)。

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第１章　線形時系列解析と非線形時系列解析の違い

１.１　時系列解析の研究の歴史

1.1.1　線形時系列解析の概要

(1) 線形系の入力ー出力表現

(2) 線形系のベクトル差分方程式表現

(3) 線形系の状態空間表現

1.1.2　時系列信号の定常性とエルゴード性

1.1.3　非線形時系列解析・カオス時系列解析の例

１. 2　時系列データの例とそれらに対する解析結果

1.2.1　人工的時系列データの例と伝統的時系列解析結果

1.2.2　人工的時系列データのカオス時系列解析結果

1.2.3　リカレンスプロットによる時系列データの分析結果